Matriz de bloque antidiagonal (valores propios y vectores propios)

Question

Tengo$2$ matrices cuadradas$A_m$ y$B_m$ que son simétricas y de tamaño$m\times m$. Y la tercera matriz es,$C=\begin{bmatrix}0 & A \\ B & 0\end{bmatrix}$.

Ahora, me gustaría calcular los valores propios y los vectores propios de la matriz$C$. ¿Cómo puedo obtenerlo? ¿O cómo se relaciona con los valores propios y los vectores propios de$A$ y$B$? ¡Muchas gracias por adelantado!

Answer 1

$\det(\lambda I-C)=\det\pmatrix{\lambda I&-A\\ -B&\lambda I}$. Desde la plaza de todos subbloques tienen el mismo tamaño y los dos subbloques en la parte inferior viaje, el determinante es igual a $\det(\lambda^2 I - AB)$. Por lo tanto, los autovalores de a $C$ son las raíces cuadradas de los valores propios de a $AB$. Es decir, para cada autovalor $t$$AB$, las dos raíces de la $\lambda^2-t=0$ son los autovalores de a $C$.

Como se señaló en un comentario, tenemos $\det(C)=\det(-AB)$ y, por tanto, hay una cierta relación entre el producto de los valores propios de a $C$ y los productos de los autovalores de a$A$$B$, pero aparte de eso, muy pocos sobre el espectro o los vectores propios de a $AB$ se puede decir, incluso si los espectros y los vectores propios de a $A$ $B$ son totalmente conocidos. Cuando ambos $A$ $B$ es positiva definida, tenemos algunos de los límites para los valores propios de a $AB$. Ver "la Evaluación de los autovalores de un producto de dos positiva definida matrices" en este sitio o de "Valores propios del producto de dos matrices simétricas" en la MO.

Answer 2

La idea de @AG es un buen comienzo:

Si asumimos que$A,B$ conmuta, entonces obtenemos un resultado fácil.

$C^2$ es simétrico, por lo que es diagonalizable. Sea$P$ una matriz que es el cambio a la base diagonal.

$(PC^2 P^{-1}) = (PCP^{-1})^2 = D$, donde$D$ una matriz diagonal, así que$PCP^{-1} = D^{1/2}$, que puede calcular tomando las raíces cuadradas de las entradas de$D$.