Supongamos que $M$ es un colector liso que también es compacto. Por lo tanto, si hay alguna cubierta abierta entonces hay una subcubierta finita que cubre $M$ por la compacidad. Ahora mi pregunta es, en general, ¿puedo reducir esta subcubierta finita para convertirla en una subcubierta finita disjunta? ¿O es que siempre existe una subcubierta finita disjunta para una variedad lisa compacta? Gracias.
No, esto casi nunca es posible. Si un espacio topológico $M$ es una unión disjunta de conjuntos abiertos $U_i$ , entonces cada $U_i$ también es cerrado, ya que su complemento es la unión de los conjuntos $U_j$ para $j\neq i$ . Así, cada $U_i$ es clopen, y por lo tanto $M$ está desconectado mientras haya más de un $U_i$ que no está vacío.
Así que si $M$ es cualquier colector conexo, no admite ninguna cubierta finita por conjuntos abiertos no vacíos y disjuntos que no sea la cubierta trivial (que consiste sólo en $M$ mismo).
Desde $M$ es un colector, puede elegir la cubierta $\{U_i\}$ para que cada $U_i$ es homeomorfo a $\Bbb R^n$ . En particular, cada $U_i$ está conectado. Si pudieras conseguir una subcubierta finita $U_1,\dots,U_m$ , donde $m>1$ , de tal manera que el $U_i$ son disjuntos, entonces $M$ estaría desconectado como espacio topológico. Por lo tanto, no se puede hacer esto si $M$ está conectado.
En general, si $M$ tiene $k$ componentes conectados, entonces no se puede encontrar una subcubierta disjunta formada por más de $k$ subconjuntos, y sólo puede hacerlo si cada componente conectado estaba en la cubierta abierta original.
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