Hice esta prueba?

Question

No estoy seguro si hice la prueba, así que quería ver cómo la mayoría de ustedes lo hizo. Estoy tratando de resolver este problema:

Deje $x, y \in \mathbb N$ ser relativamente primos. Si $xy$ es un cuadrado perfecto, demostrar que $x$ $y$ debe ser cuadrados perfectos.

Aquí está mi prueba:

Si $x$ $y$ ambos son primos relativos, entonces si $p_i | x$ $p_i$ no divide $y$ y viceversa. Entonces por TLC, $xy = p_{i_0}p_{i_1} ...$ y este es el único de la factorización de $xy$.Entonces si $xy = n^2$ para un número n, $xy = p_{g_0}^2p_{g_1}^2...$ Así que si $p_{l} | xy$ $p_l^2 | x $ o $y$, por lo tanto, x e y son un producto de números primos cuadrado. Por lo tanto, x e y son cuadrados perfectos.

Gracias.

Answer 1

La prueba no es suficiente. Al final, a la conclusión de que si un prime $p|xy$, $p^2|x$ o $p^2|y$ es correcto, pero no excluye, por ejemplo, que el $p^3|y$ pero $p^4\not| y$, en cuyo caso $y$ no estaría en la plaza.

Sin embargo, usted va en la dirección correcta. Observe que podemos escribir $$x=p_1p_2p_3\ldots p_i$$ para algunos de los números primos $p_i$ y $$y=q_1q_2q_3\ldots q_j$$ para algunos de los números primos $q_j$ distinta a la de cualquier $p_i$. Esto significa que $$xy=p_1p_2p_3\ldots p_i q_1 q_2 q_3\ldots q_j$$ y, por hipótesis de que la $xy$ es de planta cuadrada, cada uno de los prime debe aparecer un número par de veces -, pero desde cualquier prime sólo puede aparecer en la secuencia de $p$ o en $q$, se deduce que cada primer dividiendo $xy$ aparece un número par de veces en la secuencia de $p$ o $q$, lo que implica más que cualquier otro primer dividiendo $x$ aparece un número par de veces en $p$ y cualquier otro primer dividiendo $y$ aparece un número par de veces en $q$. Por lo tanto, $x$ $y$ debe ser cuadrado.

Este es esencialmente el mismo que el de su prueba, solo, sin apelar a la divisibilidad de las condiciones en el final, y la sustitución de cualquier cosa para hacer con los números primos que aparecen dos veces con ellos aparece un número par de veces.

Answer 2

Para cada uno de los prime $p$, vamos a $\nu_p(x)$ el valor de la potencia más grande de $p$ que divide $x$. Tenga en cuenta que para cualquier $x,y$,$\nu_p(xy)=\nu_p(x)+\nu_p(y)$. Diciendo que $x$ $y$ son relativamente primos significa que para cada uno de los prime $p$, $\nu_p(xy)$ es $0$ o uno de $\nu_p(x)$, $\nu_p(y)$, en efecto: por ejemplo, si $p$ divide $x$, entonces no se puede dividir $y$, lo $\nu_p(xy)=\nu_p(x)$.

Por hipótesis de $\nu_p(xy)$ es también para cada uno de los prime $p$, por lo que lo anterior implica que para cada uno de los prime $p$, $\nu_p(x)$ y $\nu_p(y)$ son uniformes, ya que la igualdad de $\nu_p(xy)$.

De hecho, si $x,y$ son coprime, $\nu_p(xy)=\nu_p(x)+\nu_p(y)=\max(\nu_p(x),\nu_p(y))$ para cada uno de los prime $p$. Decir $x,y$ son cuadrados es igual a decir $\nu_p$ es también para cada uno de los prime $p$, por tanto $y$$x$.