Es cualquier valor real de la función en la física de alguna forma continua?

Question

Considere el siguiente bien conocida la función: $$ \operatorname{pues}(x) = \begin{cases} \sin(x)/x & \text{for } x \ne 0 \\ 1 & \text{for } x =0 \end{casos} $$ En la física, la función de sinc tiene aplicaciones con, por ejemplo, espectrografía. Matemáticamente hablando, no habría ninguna objeción en contra de una alternativa como esta: $$ \operatorname{chupar}(x) = \begin{cases} \sin(x)/x & \text{for } x \ne 0 \\ 0 & \text{for } x =0 \end{casos} $$ Pero en la física tal propuesta alternativa sería nula de aplicaciones. Es recatadamente que $\operatorname{sinc}(x)$ es continua en a $x=0$. Los físicos no siquiera pensar en discontinuo alternativa.

La función de sinc es sólo un ejemplo de una forma mucho más general de la afirmación, pronunciada por uno de mis héroes, el gran matemático L. E. J. Brouwer. Es (no muy bien), conocido como Brouwer de Continuidad Teorema, groseramente afirmando que cada valor real de la función es continua. Más precisamente, como el citado de Fuerte Contraejemplos: "En intuitionistic de las matemáticas, el Brouwer Continuidad Teorema establece que el total de funciones reales son (uniformemente) continua en la unidad de intervalo".

Real con valores, cantidades físicas tengo dudas. Esa es una de las propiedades fundamentales de la física. Y no es sólo debido a la cuantía de las consideraciones. Tener un promedio barra de metal. No tiene la longitud exacta. Allí son, por ejemplo, las fluctuaciones de temperatura (de los átomos en movimiento) que hará que la barra de longitud a fluctuar. Esto significa que cualquier número real en la física se acompaña de una incertidumbre, un error, a menudo denotado como $\delta$ o $\varepsilon$.

Considerar la clásica definición matemática de la continuidad de una función. Todos los números, se asume el valor real. Una función de $f(x)$ se dice continua en $x=a$ si y sólo si para todos los $\varepsilon > 0$ existe un $\delta > 0$ que si $|x-a| < \delta$$|f(x)-f(a)| < \varepsilon$, donde puede ser que $x \ne a$.

Una interpretación física de este podría ser formulada de la siguiente manera: un error en una función continua puede hacerse tan pequeña como se desee mediante la adaptación de el error en el argumento de la función en consecuencia. Debido a los errores, $|x-a|<\delta$ es físicamente igual $x\approx a$ ($x$ es igual a $a$ aproximadamente) y esto puede decirse de $f(x)$$f(a)$. Así que incluso podemos escribir $\; x\approx a \,\Longrightarrow\, f(x)\approx f(a)\;$ , como (descuidado) definición de continuidad. La última formulación es incluso más cerca de Brouwer Continuidad Teorema, si vamos a reemplazar el $\,\approx\,$ a un signo igual: $\; x=a \,\Longrightarrow\, f(x)=f(a)\;$ , que expresan la idea de que una función es continua donde lo que realmente es .. una función!

Ahora, considere de nuevo el anterior chupar la función. Lo pequeño puede ser, inevitablemente hay un error en el argumento, lo que significa que $x=0$ realidad debería ser sustituido por un intervalo de $|x-0| < \delta$. Hay valores de $x\ne 0$ en ese intervalo, sin embargo, y $\,\lim_{x\to 0} \operatorname{suck}(x) = 1$. Por lo tanto, físicamente hablando, $\operatorname{suck}(0) = 1\,$ $\operatorname{suck}(0) = 0\,$ debe ser verdaderas al mismo tiempo. Lo cual es imposible. En mi humilde opinión esta es la razón por la $\operatorname{suck}(0) = 1\,$ participa automáticamente en la física, lo que resulta, inevitablemente, en nuestro viejo amigo el sinc función y nada más.

Soy muy consciente del hecho de que esta forma de razonamiento físico no implica todo tipo de continuidad que los matemáticos podrían pensar. Así que la pregunta es ¿qué tipo de continuidad son sensibles al automatismo que está presente en la función de sinc y qué tipo de continuidad son distintos a los de este. Es un poco vaga pregunta, pero yo soy un humilde físico por la educación y no conozco ninguna mejor manera de formularla.

EDIT. Una mucho más simple ejemplo de una función con el mismo tipo de "automatismo", como con las $\operatorname{sinc}$ función está dada por: $$ f(x) = \begin{cases} (x^2-1)/(x-1) & \text{for } x \ne 1 \\ 2 & \text{for } x=1 \end{casos} $$ Que es físicamente igual a $\,f(x) = x+1$ . Un ejemplo contrario es el de la función $\,g(x) = 1/x$ , muy similar a la dada por snulty . Así que parece que algunas singularidades son "esenciales" (físicamente hablando), mientras que otros no lo son. Puede alguien ser más específico? Porque Me parece una lata de gusanos, como se ejemplifica por Q&a en la BMV y en otro lugar:

• Cauchy de distribución en lugar de la ley de Coulomb?
• Este podría ser llamado Renormalization?
• ¿Este límite existe y si es así ¿cuál es su valor?
• Puede monstruos de análisis real ser domesticado de esta manera?
• La computabilidad, la Continuidad y el Constructivismo
• Función Delta de que obedece a la ley de cuadrado inverso
  fuera de su (-1; 1) alcance y no tiene 1/0 infinito
• Crítica De Flujo De Masa

Answer 1

El ejemplo canónico de esto es la aparente singularidad que surge en coordenadas esféricas cuando se pasa alrededor de la tierra, sólo para encontrar que su longitud se ha ido de$0$$180$. O, por ejemplo, la singularidad que surge en el Laplaciano con coordenadas esféricas. Estos son todos los no-físico y que son consecuencia de la elección de un sistema de coordenadas.

Un primer ejemplo de este tipo de cosa viene en la relatividad general, donde verás las singularidades en su métrica. En muchas situaciones estas singularidades son en realidad los artefactos del sistema de coordenadas elegido, ver aquí, por ejemplo: http://physics.stackexchange.com/questions/223549/coordinate-singularity-in-metric

he aquí una maravillosa lectura sobre este tema: "¿Qué es una Singularidad - Geroch" y la conclusión de la cita:

La presencia o ausencia de una coordenada de la singularidad no es una propiedad del espacio-tiempo en sí, sino más bien de un físico que ha elegido las coordenadas por las que el espacio-tiempo se describe.

Sin embargo, a veces estas singularidades punto en el fracaso de una teoría dada, como la ultravioleta catástrofes, por ejemplo. Vea aquí. En particular, si una singularidad que existe en todos los sistemas de coordenadas (i.e es diffeomorphism invariantes), sólo entonces podemos concluir que tal vez esta es una de las fallas de nuestra teoría actual. El punto es que la naturaleza no debe de atención sobre nuestra elección de sistema de coordenadas.

Answer 2

Este es un limpiado de la versión de algunos comentarios de la mina en la pregunta original.

Algunos mal comportamiento es extraíble, algunas no. El comportamiento que es extraíble, en cierto sentido, "ya está", desde los físicos perspectiva. Por ejemplo, sinc puede ser pensado como (un múltiplo de) la transformada de Fourier de la función de indicador de algún intervalo simétrica alrededor de cero. Esto es realmente sólo se determina únicamente a una.e. la equivalencia, así que puede elegir libremente a nuestros "favoritos" representante "de la función".

Para decirlo de otra manera, podemos identificar la "versión física" de una función de $f$$\frac{d}{dx} \int_a^x f(y) dy$. Esto es lo que puedes conseguir por un promedio de $f$ más pequeños y más pequeños intervalos que contengan $x$. Puede suceder que este límite no existe. En este caso, $f$ "realmente" tienen una singularidad, y que debe ser abordado de alguna manera para $f$ tener ningún significado físico.

Debido a las singularidades casi nunca realmente existen en la naturaleza, generalmente la respuesta es que hay alguna diferencia entre el modelo y la realidad. Por ejemplo, podría ser que la "física" de la ecuación tiene una "regularización" término con un pequeño coeficiente que se están descuidando. En este caso o casos similares, la función "real" no podría tener cualquier discontinuidad, pero podría haber una escala de separación en la posición en la que su ecuación predice una discontinuidad. La comprensión de esta escala de separación, incluso si sólo a través de un poco realista modelo, es útil.

Answer 3

Funciones discontinuas son bastante comunes.

¿Cuál es la magnitud de la fuerza entre dos cargas puntuales, o partículas que puede considerarse como punto de cargos,

$$F=\frac{kq_1 q_2}{r^2}$$

Donde $q$'s son los cargos, $k$ es constante, y $r$ es la distancia entre ellos.

Este es claramente discontinuo cuando la distancia es cero, y diverge como el de las partículas de arbitrario cerca el uno del otro. Lo mismo sucede para Newtoniana de la gravedad.

De hecho, esto causa un problema a la hora de tomar una transformada de Fourier de la potencia, que es por lo general 'fijo' ya sea físicamente dando los fotones de una masa y dejar que la masa se vaya a cero después, o simplemente admitir que no podemos saber con precisión arbitraria la forma exacta de la potencial, nuestros experimentos no son lo suficientemente buenos, por lo que añade un extra de $e^{-ar}$ en el potencial y deje $a\to 0$ después del cálculo.

La otra cosa que sucede es que cuando se desea algo acerca de las fuentes puntuales, de modo que los físicos introducir la delta de Dirac 'función', que creo que es más bien descrito como una distribución, se puede obtener como la discontinuo límite de funciones continuas.

Answer 4

Se continua o no, es a menudo un asunto de referencia: el origen, la orientación de los ejes, unidades, o la escala.

Cuando la discontinuidad aparece, el origen es a menudo en la simplificación del modelo, pensar acerca de la reducción de un objeto que se mueve a su centro de masa.

Pero la física existe, sin discontinuidad? Si una ecuación es continua y diferenciable, a mí me parece que derivado de discontinuidades que se presentan a menudo con suficiente orden. Es que debido a que el tiempo podría ser discretos?