Débiles $L^{p}$ espacios cuasi-normativa?

Question

Deje $(X,\mathcal{B}, \mu)$ ser una medida en el espacio. A continuación, para$0< p < \infty$, por definición,

$L^{p,\infty}(X,\mathcal{B}, \mu)$ es la clase de todas las funciones medibles $f$ tal que

$$\begin{eqnarray*} \|f\|_{p,\infty} &:=& \text{inf}\{c > 0: d_{f}(\alpha)\leq \frac{c^{p}}{\alpha^{p}}\text{ for all }\alpha > 0\}\\ &=& \text{sup}\{\gamma d_{f}(\gamma)^{\frac{1}{p}}:\gamma > 0\} \end{eqnarray*}$$ donde $$d_{f}(\alpha) = \mu(\{x\in X:|f(x)| > \alpha\})$$

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Estoy tratando de verificar que $\|\cdot\|_{p,\infty}$ es un cuasi-norma en $L^{p,\infty}$.

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La no-trivial cosa a comprobar es que para todos los $f,g\in L^{p,\infty}(X,\mathcal{B}, \mu)$, $\|f + g\|_{p,\infty} \leq c_{p}(\|f\|_{p,\infty} + \|g\|_{p,\infty})$ donde $c_{p} = \text{max}\{2,2^{\frac{1}{p}}\}$.

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Para $1\leq p < \infty$, yo era capaz de mostrar que $\|f + g\|_{p,\infty} \leq 2(\|f\|_{p,\infty} + \|g\|_{p,\infty})$ utilizando el supremum de definición.

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Para $0 < p < 1$, necesito mostrar que $\|f + g\|_{p,\infty} \leq 2^{\frac{1}{p}}(\|f\|_{p,\infty} + \|g\|_{p,\infty})$, pero estoy atascado.

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Se supone que la idea de usar la siguiente propiedad de $d_{f}$:

$$d_{f + g}(\alpha + \beta)\leq d_{f}(\alpha) + d_{g}(\beta)$$

lo que implica, en particular, que

$$d_{f + g}(\alpha)\leq d_{f}\left(\frac{\alpha}{2}\right) + d_{g}\left(\frac{\alpha}{2}\right)$$

Alguien me puede ayudar a terminar la prueba? Gracias de antemano!

Answer 1

Fix$\gamma>0$$0<p<1$. Desde $t^{1/p}$ es una función creciente de $t>0$, entonces el uso de la última desigualdad en su pregunta que me $$\left(\frac{d{f+g}(\gamma)}{2}\right)^{1/p} \leq\left(\frac{d{f}(\gamma/2)+d_{g}(\gamma/2)}{2}\right)^{1/p}$$ Desde $t^{1/p}$ es una función convexa tenemos $$\left(\frac{d{f}(\gamma/2)+d_{g}(\gamma/2)}{2}\right)^{1/p} \leq\frac{d{f}(\gamma/2)^{1/p}+d_{g}(\gamma/2)^{1/p}}{2}$$ Por lo tanto $$d_{f+g}(\gamma)^{1/p}\leq 2^{1/p}\left(\frac{1}{2}d_f\left(\frac{\gamma}{2}\right)^{1/p}+\frac{1}{2}d_g\left(\frac{\gamma}{2}\right)^{1/p}\right)$$ Multiplicando por $\gamma$ obtenemos $$\gamma d_{f+g}(\gamma)^{1/p} \leq 2^{1/p}\left(\frac{\gamma}{2}d_f\left(\frac{\gamma}{2}\right)^{1/p}+\frac{\gamma}{2}d_g\left(\frac{\gamma}{2}\right)^{1/p}\right) \leq 2^{1/p}(\Vert f\Vert_{p,\infty}+\Vert g\Vert_{p,\infty})$$ Tking supremum $\gamma>0$ en la última desigualdad obtenemos $$\Vert f+g\Vert_{p,\infty}\leq 2^{1/p}(\Vert f\Vert_{p,\infty}+\Vert g\Vert_{p,\infty})$$