Cómo comprobar si una representación de su(2) es irreducible

Question

He encontrado una representación $\rho$ de la $G=Su(2)$. Quiero mostrar que esta representación es irreductible, pero no sé cómo. Encontrar todos los subespacios invariantes parece muy difícil. He comprobado que la condición:

$\forall g \in G: \rho(g) A=A \rho(g)$

implica que $A$ es proporcional a la identidad, pero no pude encontrar un resultado que indica que esto es suficiente para que una representación sea irreducible. Además sé que el personaje $\chi(g)$, pero no sé cómo esto me ayudará, porque el grupo en estudio es infinito.

Los punteros en la dirección correcta sería muy apreciada.

Answer 1

La condición de que haya verificado que es en realidad, esto es debido a la completa reducibilidad para compact Mentira grupos. Aproximadamente, suponga que tiene un subrepresentation, a continuación, por la completa reducibilidad debe tener un complementarios subrepresentation. Ahora usted puede definir un lineal mapa que es la identidad de uno de los componentes y cero en los otros, esto va a ser un no-escalar mapa que conmuta con la acción de la $G$.

Me siento como que debo poner una advertencia, sin embargo: en general, esta condición no siempre es suficiente, si se completa reducibilidad falla, puede que tenga indecomposable pero no irreductible objetos que la única entrelazamiento endomorphisms son escalares.