Determinante de $A$

Question

Intento resolver el siguiente problema: Sea $$A^2=\begin{bmatrix} -2 & 2 & -4 \\ 2& 1 & -2\\ 4 &-6 & 6 \end{bmatrix}$$ Consideremos la traza de la matriz $A$ es $-1$ . Entonces, ¿cuál es el determinante de la matriz $A$ ?

He intentado resolver el problema de la siguiente manera:

Sea $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$ son los valores propios de la matriz $A$ .

Entonces el determinante es $\lambda_1\lambda_2\lambda_3$ pero $\lambda_1^2\lambda_2^2\lambda_3^2=36 \implies \lambda_1\lambda_2\lambda_3=\pm 6.$

Después de eso estoy atascado.

Answer 1

Encontrar los valores propios de $A^2$ da numéricamente el valor propio real en torno a 6,9 y un valor propio complejo en torno a 0,95 + 1,25i. Tomando raíces cuadradas, los valores absolutos del valor propio real de $A$ está en torno a 2,6 y la parte real de los valores propios complejos tiene un valor absoluto en torno a 0,8. Como la traza es -1, esto significa que el valor propio real de $A$ es negativo; por lo tanto $det(A)=-6$ .

Answer 2

Establecer $A^2 = B$ . Escribiendo y analizando el polinomio característico de $B$ se puede ver que sólo tiene una raíz real $\mu_1 > 0$ y por tanto dos raíces complejas no reales conjugadas $\mu_2, \mu_3 = \overline{\mu}_2$ . Suponiendo que $A$ es una matriz real con valores propios (posiblemente complejos) $\lambda_i$ podemos ordenar los valores propios de forma que $\lambda_i^2 = \mu_i$ . Desde $\mu_2, \mu_3$ no son reales, $\lambda_2, \lambda_3$ tampoco será real y puesto que $A$ es real, tendremos $\lambda_1 \in \mathbb{R}$ y $\lambda_3 = \overline{\lambda}_2$ . Ahora,

$$ \det(A) = \lambda_1 \lambda_2 \lambda_3 = \lambda_1 \lambda_2 \overline{\lambda}_2 = \lambda_1 |\lambda_2|^2 = \pm 6 $$

y por tanto conoceremos el determinante si conocemos el signo de $\lambda_1$ .

Más allá de este punto, no estoy seguro de cómo podemos continuar sin utilizar la fórmula para las raíces de un cúbico o resolver numéricamente. Si resolvemos numéricamente véase que $$\mu_1 \approx 6.91, \,\, \mu_2 \approx -0.95 + 2.07i, \,\, \mu_3 \approx -0.95 - 2.07i$$ (hasta la reordenación $\mu_2,\mu_3$ ), lo que significa que tenemos dos opciones para $(\lambda_2, \lambda_3)$ (hasta la reordenación):

$$ \lambda_2 \approx 0.81 + 1.27i, \,\, \lambda_3 \approx 0.81 - 1.27i, \\ \lambda_2 \approx -0.81 - 1.27i, \,\, \lambda_3 \approx -0.81 + 1.27i $$

y $\lambda_1 \approx \pm 2.62$ . En cualquier caso, la relación

$$ -1 = \lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3 = \lambda_1 + 2 \operatorname{Re}(\lambda_2) \approx \lambda_1 \pm 1.62 $$

implica que $\lambda_1$ debe ser negativo, por lo que $\det(A) = -6$ .