Manera inusual para definir una clase de funciones?

Question

Estoy trabajando en un problema y llegué a un punto donde el problema tiene que ser considerado dentro de una clase de funciones. Pero esta clase no puede ser definida sólo en términos de las propiedades de cada función individual en esta clase. Tiene que ser definido en términos de las propiedades de dos funciones arbitrarias en esta clase.

Permítanme darles un ejemplo (por debajo de $m$ es fijo conocido entero). Deje $\mathcal{F}$ ser la clase de las funciones definidas en $[0,1]$ con las siguientes propiedades:

1. Cualquier $F \in \mathcal{F}$ es no negativo y es (ligeramente) el incremento en $[0,1]$.

2. Cualquier $F \in \mathcal{F}$ es diferenciable en a $[0,1]$. Por otra parte, $F'$ es absolutamente continua en $[0,1]$.

3. $F'(1) > 0$ cualquier $F \in \mathcal{F}$.

4. Para cualquier $F_1, F_2 \in \mathcal{F}$ si $F_1$ $F_2$ no son idénticas, para las derivadas de estas funciones se sostiene que a) $F'_1(s) (F'_1(1))^{\frac{1}{m}}> F'_2(s) (F'_2(1))^{\frac{1}{m}}$ en una pequeña lado derecho de vecindad de $0$, o b) $F'_1(s) (F'_1(1))^{\frac{1}{m}}< F'_2(s) (F'_2(1))^{\frac{1}{m}}$ en una pequeña lado derecho de vecindad de $0$.

5. Para cualquier $F_1, F_2 \in \mathcal{F}$, sostiene que si $F'_1(s) (F'_1(1))^{\frac{1}{m}}> F'_2(s) (F'_2(1))^{\frac{1}{m}}$ en una pequeña lado derecho de vecindad de $0$,$\frac{F''_1(s)}{F'_1(1)} < \frac{F''_2(s)}{F'_2(1)}$.e. en una pequeña lado izquierdo vecindario de 1.

Mi pregunta es: ¿Cuán inusual es que para definir conjuntos o clases mediante la descripción de las propiedades de los dos componentes de este conjunto en lugar de simplemente describir las propiedades de cada componente individual en el conjunto. Tal vez alguien sabe ejemplos de otros campos donde tales definiciones se pueden encontrar?

Answer 1

Para responder a tu pregunta: en las décadas que he estado leyendo matemáticas papeles, no he visto definiciones como esta, que yo recuerde. Mi lectura del estado sobre todo en la topología, sin embargo, por lo que no puedo hablar por otras áreas de las matemáticas.

Pero probablemente hay una buena razón por la que no he visto:

Cuando se define una clase de esta manera, bien puede estar vacío, o puede haber dos mutuamente exclusivos conjuntos de soluciones.

Permítanme darles un ejemplo: Supongamos que yo defino $G$ a "la clase de las funciones de los reales a los reales distintos de cero con la propiedad de que si $f$ $g$ están en la clase, entonces existe un número real positivo $c$$f = cg$."

Ahora que es un tonto definición, pero tenga en cuenta

(a) el conjunto de todas las constantes de las funciones de la $\mathbb R$$\mathbb R^{+}$, y

(b) el conjunto de todos los positivos múltiplos de $f(x) = e^x$.

Estas clases cada satisfacer mi definición de $G$, pero son distintos.

Así: usted tiene un trabajo delante de usted. Usted necesita demostrar que su caracterización, de hecho, describe sólo una posible clase, y (probablemente) que es no vacío.

Sólo el uso de la palabra "el", como en "la clase de funciones que..." ya está asumiendo (o al menos lo que sugiere muy fuertemente) que la definición está destinado a caracterizar algo único, y esto requiere, como mínimo, una prueba. Si usted está pensando a sí mismo "la Mayoría de las definiciones veo que no es generalmente seguido por las pruebas," estás en lo correcto. Hay una razón para que, tiende a ser un mal estilo expositivo.

Un mejor enfoque podría ser decir que una clase tiene la Propiedad de "J" si las siguientes 5 cosas que celebrar. Usted puede entonces demostrar frases como "esta clase tiene la propiedad J" o "que la clase no tiene la propiedad J", y las pruebas a las que se asocian a continuación a teoremas en lugar de las definiciones, y su lector entender, a partir de la declaración del teorema, todas las cosas que necesitan ser demostrado (y la posibilidad de que puede haber varios conjuntos de bienes J).