Parece que usted está teniendo dificultad en algún lugar con la conversión de la reunión informal de ensayo breve en un completo y detallado croquis.
Así que vamos a ver en detalle cómo una (no vacío) conjunto de r.e. (recursivamente enumerable) implica que es el rango de algunos total de la función recursiva.
Deje $A\subseteq \mathbb{N}$ ser no vacío de r.e. conjunto. Entonces, por definición, existe una función recursiva parcial $f_A:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ tal forma que:
$$f_A(x)=1 \quad if \, x\in A$$
$$f_A(x)=\,\uparrow \qquad if \, x\notin A$$
Queremos construir una (total) función recursiva $g:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ tal forma que:
$$range(g)=A$$
Vamos a dividir en dos casos:
(1) tiene Un número infinito de elementos
En ese caso, es posible definir una función como $step:\mathbb{N}^3\rightarrow\mathbb{N}$ tal que $step(i,t,x)$ vuelve $1$ si se trata de un programa correspondiente al índice $i$ detiene(cuando se le da la entrada de $x$) exactamente en el paso $t$ - y $0$ lo contrario.
Observe que puesto que la función de $f_A$ descrito anteriormente es parcial recursiva, existe algún programa que calcula. La variable $x$ a continuación se supone que para ser dado como entrada para la función de $g$. Aquí es cómo vamos a proceder con la construcción de la función de $g(x)$:
$i:=índice de\;\; algunos\;programa\;\; calcula\;f_A \\ n:=0 \\ m:=0 \\ while(n\neq x+1) \,\,\{ \\ a:=primero(m) \\ b:=segundo(m) \\ \qquad si(paso(i,a,b)=1) \,\,\{ \\ \qquad \,\, n:=n+1\\ \qquad \,\,y:=b \\ \qquad \} \\ m:=m+1 \\ \} \\ retorno \;\; y
$
Para las funciones de la $first:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$$second:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$, véase, por ejemplo, https://en.wikipedia.org/wiki/Pairing_function. Para definir rigurosamente considerar cualquier computable bijective función de $pair:\mathbb{N}^2 \rightarrow \mathbb{N}$. Definir:
$$first(x)=\{\,a\in\mathbb{N} : \exists b\in \mathbb{N} \, (pair(a,b)=x) \}$$
$$second(x)=\{\,b\in\mathbb{N} : \exists a\in \mathbb{N} \, (pair(a,b)=x) \}$$
Creo que estas definiciones deben estar bien (pero no estoy completamente seguro). De todos modos, tenga en cuenta que las principales propiedades de estas funciones se que para todos los $a,b \in \mathbb{N}$ tenemos:
$$first(pair(a,b))=a$$
$$second(pair(a,b))=b$$
(2) tiene Un número finito de elementos
Supongamos que el número de elementos de Una se $N$. Entonces podemos escribir (sin repetición) como:
$$A=\{a_0,\,a_1,....,a_{N-1}\}$$
Ahora definir:
$g(x)=a_{x} \qquad \; 0\leq x \leq N-1 \\
g(x)=a_{N-1} \qquad \; x \geq N$
P. S.
El método anterior, en caso de que(1) no repetir los elementos de A (en el rango de g) cuando es infinito.
El método que se describe en los comentarios debajo de la pregunta es un poco diferente, y elimina la necesidad de tener un caso para el número finito de elementos. Supongamos $e\in A$. Aquí es un boceto para el cálculo de $g(x)$ el uso de ese método:
$i:=índice de\;\; algunos\;programa\;\; calcula\;f_A \\ e:=algunos\;elemento\;\; pertenece\;\;\\:=primero(x) \\ b:=segundo(x) \\ si(paso(i,a,b)=1) \,\,\{ \\ y:=b \\ \} \\ si(paso(i,a,b)=0) \,\,\{ \\ \\ y:=e\\\ \} \ \ retorno \;\; y
$
