Cuando son estables cadenas de Markov de tiempo continuo Feller? Siempre?

Question

Esta es una pregunta similar a esta de 2 años de edad, uno que nunca se respondió (en realidad es casi la misma pregunta, salvo que voy a agregar un poco más de detalle y la suposición de que el $Q$ matriz es estable, lo que significa que las entradas de su diagonal son estrictamente mayor que $-\infty$).

Sospecho que la respuesta a esta pregunta está ya en la literatura no he tropezado a través de ella, sin embargo, si este es el caso las referencias sería genial. Gracias de antemano por las respuestas.

Primero debo agregar algunos antecedentes (lo siento, es un poco largo, estoy tratando de asegurarse de que todos estamos hablando de lo mismo), entonces puedo agregar a mis preguntas y, finalmente, algunos de mis pensamientos.

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Antecedentes:

Deje $E$ ser algunas contables conjunto y $q$ ser un "estable $Q$-matriz en $S$":

• $q:E\times E\to\mathbb{R}$,
• $-\infty<q(x,x)\leq0$,
• $q(x,y)\geq 0$ todos los $x\neq y$,
• $\sum_y q(x,y)=0$ todos los $x$.

Considere la posibilidad de Kolmogorov hacia atrás ecuación

$$\frac{d}{dt}p_t(x,y)=\sum_z q(x,z)p_t(z,y)$$

Es bien sabido que no hay un único mínimo sub-estocástico de transición de la función de $p^*_t:[0,\infty)\times E\times E\to[0,1]$ que resuelve el anterior. Es sub-estocástico en el sentido de que $\sum_y p^*_t(x,y)\leq 1$ y la mínima en el sentido de que cualquier otro transición de la función de $p$ que resuelve el de arriba es tal que

$$p_t(x,y)\geq p_t^*(x,y)$$

para cada $t\geq0$$x,y$$E$.

Estoy interesado en saber cuando es el caso que $p_t^*$ define un "Feller-Dynkin" semigroup (usando la terminología de Williams y Rogers) $P_t$. Es decir, asociando la topología discreta a $E$, para cualquier $f\in C(E)$ (donde $C(E)$ es la de las funciones que se desvanecen en el infinito)

$(P_t f)(x):=\sum_y p_t(x,y)f(y)$

es tal que:

• $P_t f\in C(E)$,
• $0\leq f\leq 1$ implica que el $0\leq P_tf\leq 1$
• $P_sP_tf=P_{s+t}f$ todos los $s,t\geq0$$P_0f=f$,
• $||P_tf-f||\to 0$ $t\downarrow 0$ (donde $||\cdot||$ es el supremum de la norma en $C(E)$).

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Preguntas:

Cuando se $P_t$ un Feller-Dynkin semigroup en $C(E)$? En particular, lo que las condiciones en $q$ podemos imponer para garantizar que este sea el caso (aparte de $\sup_x q(x,x)<\infty$)? La segunda y tercera viñeta puntos se deducen directamente del hecho de $p_t^*$ es un sub-estocástica de la función de transición, pero el primer y el último son (al menos para mí) no es evidente.

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Pensamientos/intento:

Mi sospecha/la esperanza es que la respuesta es "siempre" sin embargo, he sido incapaz de encontrar en la literatura ni demostrar a mí mismo. En particular, he intentado aplicar el Hille-Yosida teorema de a $q$ pero me quedé atrapado tratando de demostrar que algunas ecuaciones en recurrencia siempre había una solución única (que yo también estaba asumiendo que cada fila de $q$ tenía un número finito distinto de cero entradas). Además ni siquiera he comprobado que el semigroup prometido por el Hille-Yosida teorema coincide con la definida por $p_t^*$.

Answer 1

Parece que la transición semigroup no necesita ser Feller. Un ejemplo:

Indicar los enteros no negativos por $\mathbb{N}$. Definir, por $i,j\in\mathbb{N}$,

$$q(i, j) =\begin{cases} 0 &\mbox{ if }i =0\\ i^2(\delta_{i-1, j}-\delta_{i,j}) &\mbox{ otherwise.}\end{casos}$$ A continuación, el retroceso de las ecuaciones son $$p_t'(0,0) = 0$$ y $$p_t'(i, i-1) = i^2(p_t(i-1, i-1) - p_t(i, i-1)),$$ para $i$ positivo. Inductivamente, vemos que sólo hay una solución satisfactoria, para cada $i$, $p_0(i,i)=1$. Deje $(X_t)_{t\ge 0}$ $\mathbb{N}$valores de proceso. Para $i\in\mathbb{N}$, vamos a $\mathbb{P}_i$ ser una ley en virtud de la cual $X$ comienza de$i$, y ha de transición semigroup $p$.

Definir $H=\inf\{t:X_t=0\}$. Entonces $$\mathbb{E}_i[H] = \sum_{j=1}^i j^{-2}.$$

Por lo tanto, hay constantes $M>0$$\epsilon>0$, de tal manera que, para cada una de las $i$, $$\mathbb{P}_i[H\le M] > \epsilon.$$

Definir $f\in C(\mathbb{N})$ por $$f(i) = \begin{cases}1 & \mbox{ if } i = 0\\ 0 & \mbox{ otherwise.}\end{casos}$$

$$\begin{align}\mathbb{E}_i[f(X_M)] &= \mathbb{P}_i[X_M=0]\\ &= \mathbb{P}_i[H\le M]\\ &\ge \epsilon.\end{align},$$

por lo tanto $P_Mf$ no desaparecer en el infinito, por lo que el primer punto no está satisfecho.

Answer 2

Bueno, puede ser demasiado restrictiva (y tal vez obvio), pero con una condición que le da (en la parte superior de lo que ya se ha asumido) el Talador de la propiedad es que el generador está delimitado (que no es el caso en el contraejemplo dada anteriormente).

En ese caso, uno puede utilizar el Hille-Yosida teorema.

Vamos a llamar el generador de $A$, es decir,$Af(x) := \sum_{y \in E}q(x,y)f(y)$.

1) $A1\equiv0$, obviamente.

2)$\mathcal{D}(A)$ es sólo $\mathcal C (E)$.

3)$\mathcal{R}(I-\lambda A)=\mathcal C (E)$ $\lambda$ lo suficientemente pequeño, ya que para cualquier $g \in \mathcal C (E)$ uno puede poner $$f :=\sum_{n=0}^{\infty}\lambda^nA^ng,$$ which converges for $\lambda ||A|| < 1$ (here we need the boundedness of $$), and which solves the equation $f-\lambda Af=g.$

4) Dissipativity de $A$:

Poner $x_0:=\arg \max_{x\in E}|f(x)|$. Entonces $$\begin{align*} ||\lambda f(\cdot)-Af(\cdot)||& = \big|\big|f(\cdot)\big(\lambda+\sum_{y \ne \cdot}q(\cdot,y)\big)-\sum_{y \ne \cdot}q(\cdot,y)f(y)\big|\big|\\ &\ge\big|f(x_0)\big(\lambda+\sum_{y \ne x_0}q(x_0,y)\big)-\sum_{y \ne x_0}q(x_0,y)f(y)\big|\\ &\ge\big|f(x_0)\big(\lambda+\sum_{y \ne x_0}q(x_0,y)\big)-f(x_0)\sum_{y \ne x_0}q(x_0,y)\big|=\lambda||f||. \end{align*}$$

En particular, si $E$ es finito, la cadena siempre será Feller.