Un problema de ensayos Bernoulli

Question

Dos padres deciden tener hijos hasta tener 3 hijos del mismo sexo uno tras otro (3 seguidos). Si p(niño)=p(niña)=1/2, ¿cuántos hijos se espera que tengan?

He intentado dibujar un diagrama de árbol para analizar el problema, pero no puedo generar una expresión útil para la probabilidad de que se produzca un "éxito" en el enésimo ensayo.

Hasta ahora P(3)=1/4, P(4)=1/8, P(5)=1/8, P(6)=3/32, P(7)=3/64, P(8)=5/128 y P(9)=1/32.

He leído un artículo similar en este foro sobre cómo encontrar E(x) y Var(x) para 2 éxitos consecutivos, pero generar una expresión aquí es mucho más difícil. En el caso de los 2 primeros éxitos consecutivos en k ensayos, cada éxito debe ir seguido de un fracaso hasta el (k-1)º ensayo. En este caso, no es necesario que cada éxito vaya seguido de un fracaso, aunque 2 éxitos consecutivos deben ir seguidos de un fracaso hasta el (k-2)º ensayo.

muchas gracias, Yun Fei

Answer 1

Tienen un hijo, cuesta $1$ . Lo añadiremos al final.

Después del primer hijo, los padres se encuentran en uno de los dos estados: El estado A si los dos hijos anteriores son del mismo sexo (por lo que casi están ahí); el estado B si hay un hijo anterior, pero no están en el estado A.

Dejemos que $a$ sea el número esperado de adicional niños si están en el Estado A, y $b$ el número previsto de hijos adicionales si están en el Estado B.

Si están en el Estado A, entonces con probabilidad $\frac{1}{2}$ consiguen sus tres seguidos, y la cría se acaba. Y con la probabilidad $\frac{1}{2}$ pasan al Estado B, y su expectativa se convierte en $b$ . El coste en ambos casos es $1$ más niño. Así, $$a=\frac{1}{2}(1)+\frac{1}{2}(1+b).$$

Si están en el Estado B, entonces con probabilidad $\frac{1}{2}$ obtienen un hijo del mismo sexo que el anterior, y entran en el Estado A. Con probabilidad $\frac{1}{2}$ tienen un hijo del sexo opuesto, y se quedan en el Estado B. Así $$b=\frac{1}{2} (1+a)+\frac{1}{2}(1+b).$$

Resuelve. Obtenemos $b=6$ . Añade la inicial $1$ mencionado en el primer párrafo. El número medio de hijos es $7$ .

Observaciones: $1.$ También podemos expresar la expectativa como una serie, calculando la probabilidad de que la cría termine después de $3$ ensayos, $4$ y así sucesivamente. Los seres se pueden sumar explícitamente. Pero el enfoque de la expectativa condicional que utilizamos anteriormente es mucho más suave y tiene una amplia aplicabilidad.

$2.$ Yo preferiría una formulación en términos de lanzamiento de una moneda, ya que de hecho los nacimientos de niños y niñas no tienen la misma probabilidad. Y la suposición tácita de independencia que hicimos tampoco es correcta.

Answer 2

Dejemos que $t_i$ denotan el número esperado de hijos que nacen para 3 del mismo sexo que nacen consecutivamente, después de $i$ nacieron hijos del mismo sexo . Así, $t_3=0$ y uno busca $t_0$ . Condicionando el sexo del siguiente hijo, se obtiene $t_0=1+t_1$ , $t_1=1+\frac12t_1+\frac12t_2$ y $t_2=1+\frac12t_1$ . Por lo tanto, $t_0=7$ .

Por ejemplo, supongamos que los últimos hijos nacidos son ...MFMFF. Entonces $i=2$ . Si el siguiente hijo es F, se pasa a $j=3$ y el tiempo medio de espera después de este paso es $0$ ya que los últimos hijos nacidos son ...MFMFFF. Si el siguiente hijo es M, se vuelve a $j=1$ y el tiempo medio de espera después de este paso es $t_1$ ya que los últimos hijos nacidos son ...MFMFFM. Por lo tanto, $t_2=1+\frac12\cdot0+\frac12t_1$ . Igualmente para $i=0$ (siempre va a $1$ ) y para $i=1$ (va a $2$ o a $1$ ).