La estructura del grupo de $\mathbb{Q}_p ^* / \mathbb{Q}_p ^{*3}$

Question

Sea p 1 mod 3 (pregunta aparte: trabajar 2 mod 3). ¿Cuál es la estructura del grupo de el grupo abelian $\mathbb{Q}_p ^* / \mathbb{Q}_p ^{*3}$?

$\mathbb{Q}_p ^*$ se refiere al grupo de unidades en $\mathbb{Q}_p$, e $\mathbb{Q}_p ^{*3}$ es el grupo de unidades de cubos.

No estoy muy seguro de por dónde empezar con este. Creo que las unidades en $\mathbb{Q}_p$ son sólo la no-cero elementos. Me parece que no puede conseguir una manija en $\mathbb{Q}_p ^{*3}$, aunque. Ayuda y punteros sería muy apreciada!

Answer 1

Las unidades en $\mathbb Q_p$ a partir de la no-cero de los elementos debido a $\mathbb Q_p$ es un campo. Para el cálculo de la estructura de $(\mathbb Q_p^\times)^3$, se comienza por calcular la estructura de $\mathbb Q_p^\times$. Aquí voy a suponer $p > 2$ (y más tarde $p > 3$), ya que estos son casos particulares.

Primero nos puede separar los elementos de $\mathbb Q_p^\times$ por su valoración: cada elemento $x \in \mathbb Q_p^\times$ puede ser escrito como $x = p^{v_p(x)} y$$y \in \mathbb Z_p^{\times}$, por lo que $$\mathbb Q_p^\times = p^{\mathbb Z} \times \mathbb Z_p^\times.$$ Ahora vamos a $y \in \mathbb Z_p^{\times}$; si $y \equiv y' \pmod{p}$$z = y/y' \equiv 1 \pmod{p}$, por lo que podemos escribir $y = y' z$ $z \in 1 + p \mathbb Z_p$ $y'$ pertenece a un conjunto de representantes de todos los no-cero de clases (modulo $p$). Desde $\mathbb F_p^\times$ es un grupo cíclico de orden $p-1$ ($p > 2$es necesario), como un conjunto a es el conjunto de $p-1$-th raíces de la unidad (que es también la imagen de $\mathbb F_p^\times$ por el Teichmüller ascensor), generado por una raíz primitiva $\omega$: $$\mathbb Z_p^\times = \omega^{\mathbb Z/(p-1)\mathbb Z} \times (1 + p \mathbb Z_p),$$ como un producto de grupo.

Finalmente, (esto es de nuevo donde $p > 2$ es necesario), el logaritmo del mapa es un grupo de isomorfismo entre el$1 + p \mathbb Z_p$$p \mathbb Z_p$, por lo que si $u$ genera (aditiva y topológicamente) $\mathbb Z_p$, $\exp (pu)$ genera $1 + p \mathbb Z_p$; equivalentemente, si $v_p(x-1) = 1$, $x$ genera $1 + p \mathbb Z_p$. La combinación de todos estos juntos, nos encontramos con $$\mathbb Q_p^\times = p^{\mathbb Z} \times \omega^{\mathbb Z/(p-1)\mathbb Z} \times x^{\mathbb Z_p}.$$ Por ejemplo, para $p = 5$, nos encontramos con $$\mathbb Q_5^\times = 5^{\mathbb Z} \times \sqrt{-1}^{\mathbb Z/4\mathbb Z} \times (-4)^{\mathbb Z_5}.$$ En este grupo, nos encontramos que los cubos son los elementos de $$(\mathbb{Q}_5^\times)^3 = 5^{\mathbb 3 Z} \times 1 \times (-4)^{\mathbb Z_5}$$ (desde $3 \mathbb Z_5 = \mathbb Z_5$), lo que implica $Q_5^\times/(Q_5^\times)^3 \simeq 5^{\mathbb Z/3\mathbb Z}$ (es decir, es un grupo cíclico de orden $3$, generado por $5$).