notación de covarianza y contravarianza de vectores/tensores

Question

Al revisar el artículo de Wikipedia sobre covarianza y contravarianza de vectores y $\mathbf{v}=v^i\mathbf{e}_i$ se dice que es un vector contravariante mientras que $\mathbf{v}=v_i\mathbf{e}^i$ se dice como vector covariante (o covector).

Sin embargo, en la última parte, el artículo dice:

Entonces las coordenadas contravariantes de cualquier vector $\mathbf{v}$ se puede obtener mediante el producto punto de $\mathbf{v}$ con los vectores base contravariantes: $q^1=\mathbf{v}\cdot \mathbf{e}^1$ , $q^2=\mathbf{v}\cdot \mathbf{e}^2$ y $q^3=\mathbf{v}\cdot \mathbf{e}^3$ . Asimismo, las componentes covariantes de $\mathbf{v}$ se puede obtener a partir del producto punto de $\mathbf{v}$ con vectores de base covariante, a saber $q_1=\mathbf{v}\cdot \mathbf{e}_1$ , $q_2=\mathbf{v}\cdot \mathbf{e}_2$ y $q_3=\mathbf{v}\cdot \mathbf{e}_3$ .

Me estoy confundiendo. Parece que la ubicación de los índices (arriba o abajo) de los vectores contravariantes o covariantes es diferente en estas dos partes diferentes.

¿Puede alguien mostrarme qué diablos es esto?

Gracias.

Answer 1

Para obtener las componentes del vector contravariante $v = v^i e_i$ , donde $e_i$ es la base natural, punteamos con los vectores base $e^i$ para el espacio dual, $$v\cdot e^j = v^i e_i\cdot e^j = v^i \delta_{i}^j = v^j.$$ Asimismo, para encontrar las componentes de un vector covariante $w = w_i e^i$ punteamos con vectores base de la base natural, $$w\cdot e_j = w_i e^i\cdot e_j = w_i \delta^{i}_j = w_j.$$

A veces los vectores de la base natural se llaman covariantes (ya que sus índices están abajo) y los vectores de la base dual contravariantes (ya que sus índices están arriba). ¡Con esta convención un vector contravariante, con componentes contravariantes, se escribe en términos de la base covariante!

Después de un tiempo, te acostumbras a este tipo de tonterías.

Anexo : Los términos contravariante y covariante se refieren a cómo se transforma un objeto bajo la transformación de coordenadas, $x\to x'$ . En física, donde a menudo se trata de coordenadas, esto es especialmente vívido. ¿La cosa se transforma contravariantemente con $\frac{\partial {x'}^j}{\partial x^i}$ o de forma covariante con $\frac{\partial {x}^j}{\partial {x'}^i}$ ? Por eso la terminología no es tan mala. $e^i$ realmente se transforma de forma contravariante. Esto tiene que ser así para que $$\begin{eqnarray*} v &=& v^i e_i \\ &=& v^i \delta_i^j e_j \\ &=& v^i \frac{\partial {x'}^k}{\partial x^i} \frac{\partial {x}^j}{\partial {x'}^k} e_j \\ &=& {v'}^i {e'}_i. \end{eqnarray*}$$ Para añadir otra arruga, los físicos también suelen decir que un objeto que es invariante bajo transformación es covariante ¡!

Answer 2

Llego un poco tarde a este hilo, pero quiero aclarar un punto. El vector , ${\bf v} = v^i{\bf e}_i = v_i{\bf e}^i$ no es ni contravariante ni covariante. Es la componentes que son contravariantes ( $v^i$ ) o covariante ( $v_i$ ).

Un vector determinado, ${\bf v}$ puede ser representado por las componentes que tiene en alguna base o base dual, y esas componentes generalmente cambiarán si se cambia la base, pero el vector no cambia. Esto también se extiende a los tensores con más índices. Así pues, "contravariante" y "covariante" se refieren a cómo el componentes del objeto cambiará al pasar de una base a otra, pero el objeto en sí no cambia.

En la práctica, es habitual pensar y hablar de los componentes como si fueran son el vector, lo cual está bien si sólo quieres calcular algo, pero la distinción puede ser importante cuando se habla de las propiedades abstractas del vector.

EDIT: La igualdad $v^i{\bf e}_i = v_i{\bf e}^i$ es más bien una correspondencia que y igualdad como se discute en este puesto .