Encontrar el número de posibles soluciones en $x+y+z=30$ bajo condiciones.

Question

Tres variables $x,y,z$ tienen una suma de $30$. Todos los tres son enteros No Negativos. Si alguna de las $2$ variables no tienen el mismo valor y exactamente una variable tiene valor menor o igual a $3$, calcula el número de soluciones posibles ?

$a.)\ 98 \\ b.)\ 285 \\ c.)\ 68 \\ \color{verde}{d.)\ 294\\} $

Yo lo hice

$x=0,y+z=30\implies 31\ \text{ways}$

$x=1,y+z=29\implies 30\ \text{ways}$

$x=2,y+z=28\implies 29\ \text{ways}$

$x=3,y+z=27\implies 28\ \text{ways}$

Total de maneras=$118$

Pero el libro es dar respuesta $294$ .

Busco una breve y sencilla.

He estudiado matemáticas hasta $12$th grado.

Answer 1

Su método está bien, sólo un par de resbalones - sin embargo, a menos que me estoy perdiendo algo, ninguna de las respuestas propuestas es correcta.

• $x=0$, $y+z=30$: sólo $23$ formas con $y,z\ge4$, pero una de estas es $y=z=15$ que no está permitido, por lo que sólo $22$ maneras.
• Ajustes similares dará $22+22+20+20=84$.
• Pero ninguna de las tres variables que podrían ser ${}\le3$, no tiene que ser $x$. Así que multiplicar por $3$ a dar (respuesta) $252$ posibilidades.

Answer 2

Para una cosa, realizados $x$ específicamente ser el uno que es de 3 o menos.

Por otro, su recuento de soluciones a cosas como $y+z=30$ son demasiado altos. Cuando usted dice $31$, por lo que están contando $15+15$, $0+30$, $1+29$, etc todos de los cuales no están permitidos.

• Si $x=0$, $y+z=30$ 22 soluciones dentro de las reglas.
• Si $x=1$, $y+z=29$ 22 soluciones dentro de las reglas.
• Si $x=2$, $y+z=28$ tiene 20 soluciones dentro de las reglas.
• Si $x=3$, $y+z=27$ tiene 20 soluciones dentro de las reglas.

En este punto, que hace que $84$. Ahora multiplique por $3$ en el caso de $y$ o $z$ es la que es de 3 o menos. Así obtengo $252$, no entre las opciones.

Answer 3

Vamos primero a contar en orden ascendente para x,y,z

inicio | gama | maneras de utilizar el método de Gauss

0 .... 4-26 ... $\lfloor\frac{23}{2}\rfloor = 11$

1 .... 4-25 ... $\lfloor\frac{22}{2}\rfloor = 11$

2 .... 4-24 ... $\lfloor\frac{21}{2}\rfloor = 10$

3 .... 4-23 ... $\lfloor\frac{20}{2}\rfloor = 10$

total = 42

ans = $42\cdot3! = 252$