Duda sobre el "teorema del descanso" en la división de polinomios

Question

Estoy lidiando con un problema de división de polinomios, tengo:

Determinar el valor de $a$ para hacer: $x^2 + 2x - a$ divisible por $x + 4$

No sé ni por dónde empezar, esto $a$ me confunde mucho;

Gracias de antemano;

Pero sigo confundido, estoy tratando de dividirlo de la manera más larga, he multiplicado con un $x$ coeficiente y consiguió un descanso de $-2x - a$ pero no soy capaz de encontrar la otra parte del coeficiente para anularlo $-2x$ y consiguió el $a$ .

Answer 1

El comentario de Gerry te llevará a considerar algo así: Si $x+4$ realmente divide $x^2+2x-a$ entonces $$x^2+2x-a=(x+4)(x+c)$$ para algunos $c$ que realmente no conocemos ni nos importa. ¿Qué sucede si se conecta $x=-4$ ?

Answer 2

La forma más sencilla es utilizar el hecho de que $-4$ es una raíz del polinomio $P(x)$ si $x+4$ divide $P(x)$ .

Answer 3

Sugerencia $\ $ Si $\rm\:x\!+\!4\ |\ f(x)\:$ entonces $\rm\:mod\ x\!+\!4\!:\ 0 \equiv f(x)\equiv f(-4)\:$ por $\rm\: x\equiv -4.$

Alternativamente, en la forma de divisibilidad (frente a la forma de congruencia), aplica la Teorema del factor.

O, por Vieta, si las raíces son $\rm\:r,-4\:$ entonces su suma es menos el coeficiente lineal $\rm\: r\!-\!4 = -2,\:$ por lo que $\rm\: r = 2,\:$ y el producto de la raíz es el coeficiente constante $\rm\: -4\:\!r = -a\:\Rightarrow\: a =\: \ldots$

Answer 4

$x^2+2xa$ es la forma estándar.

$$\begin{align} (x+4)(x+c) &= x^2+2x-a\\ x^2+cx+4x+4c &= x^2+2x-a \end{align}$$

media

$$x^2+(c+4)x+4c = x^2+2x-a$$ $$\begin{align} c+4 &= 2 & 4c &= -a\\ c &=-2 & 4(-2) &= -a\\ -a &= -8 & a &= 8 \end{align}$$

así que $x^2+2x-8$ donde el valor de $a$ es $8$ .

Answer 5

P(-4)=0

Entonces: $$(-4)^2+2\cdot{(-4)}-a = 0$$ $$16-8-a = 0$$ $$8 = a$$