Prueba de verificación: Suponiendo elección, si $A$ es infinito, $|A|\geq\aleph_{0}$

Question

Definiciones y teoremas estoy trabajando con

1. La recursividad teorema: Si $A$ es un conjunto, $f:A\to A$ es una función de y $a\in A$ entonces existe una única función de $g$ s.t. $$g\left(0\right)=a$$$$g\a la izquierda(n+1\right)=f\left(g\a la izquierda(n\right)\right)$$

2. Un conjunto es finito si es bijectable con algunos $\left[n\right]$ donde $n\in\mathbb{N}$. Un conjunto es infinito si no es finito.

Proposición: Si $A$ es un conjunto infinito, a continuación, $\left|A\right|\geq\aleph_{0}=\left|\mathbb{N}\right|$

Prueba: Supongamos $f$ ser una función de elección en $\mathcal{P}\left(A\right)$, definir un recursiva $g:\mathbb{N}\to A$$g\left(0\right)=a=f\left(A\right)$$g\left(n+1\right)=f\left(A\backslash\left\{ g\left(k\right)\mid k<n\right\} \right)\notin\left\{ g\left(k\right)\mid k<n\right\}$, lo que es claramente inyectiva (Por inducción) y bien definido, ya que en cualquier punto no podemos tener a $A\backslash\left\{ g\left(k\right)\mid k<n\right\} =\emptyset$, ya que esto significaría $\left|A\right|=\left|\left[k\right]\right| $ y contradecir $A$ siendo infinito.

Dejando de lado los pequeños detalles (como los omitidos por inducción), es esto válido? Me pregunto porque la prueba la tengo en mis notas de la conferencia es mucho más complicado, y creo que innecesariamente.

Answer 1

Sí, este es el sencillo estándar de prueba.

Con una mayor participación de la prueba, sin embargo, es posible obtener este resultado de sólo el axioma de Contables de la Elección, en lugar de tener opción sin restricciones. Sin saber más acerca de sus notas de la conferencia, mi primera conjetura sería que eso es lo que está pasando allí.

(Para usar sólo contables elección, elegir para cada una de las $n\in\mathbb N$ un subconjunto de a $A$ $n$ elementos y concreto bijection de ese subconjunto con $\{0,1,\ldots,n-1\}$. Entonces se puede demostrar que la unión de los subconjuntos es countably infinito sin tomar más decisiones).