En la teoría de cuerdas, cuando se trata de branas, ocurre lo siguiente: Reescribimos una acción de volumen mundial $S = \int_{\Sigma_{p+1}} \omega^{(p+1)}$ de un $D_p$ -como una integral sobre el conjunto $\mathbb{R}^{1,9}$ como $$ \int_{\mathbb{R}^{1,9}}\omega^{p+1}\wedge\delta^{(10-p-1)}(\Sigma_{p-1})\tag{1}$$ donde la propiedad que define a $\delta^{(10-p-1)}(\Sigma_{p-1})$ es precisamente que este objeto es igual a la acción original de woldvolumen. Pero, ¿qué es exactamente esta "función delta p-forma"? Tengo los siguientes fragmentos de una explicación:
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Podríamos contentarnos con tomar $(1)$ como notación sugerente , al igual que podemos tomar $\int \delta(x)f(x) = f(0)$ como notación sugestiva para el funcional $f\mapsto f(0)$ . Sin embargo, esto es insatisfactorio: Esta forma resulta ser en realidad una densidad de carga, y además, en algunos puntos, uno quiere considerar cosas como la derivada exterior de la función delta p-forma, y para esto, uno necesitaría una teoría adecuada de lo que este objeto es en realidad (al igual que uno necesita la teoría de las distribuciones para definir las derivadas de la función delta). Igualmente, algo como la cuña de esta cosa consigo misma necesita que se le dé un significado para $p< 6$ (algo que falla horriblemente para los habituales $\delta(x)^2$ (¡debo tener en cuenta!).
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Es habitual que las personas que utilizan este objeto digan que es el " Dual de Poincaré " de $\Sigma_{p+1}$ . Esto tiene varios problemas: Primero, $\mathbb{R}^{1,9}$ no es compacto, y tampoco lo es $\Sigma_{p+1}$ Por lo tanto, no podemos aplicar esta dualidad directamente. Incluso si pudiéramos (por ejemplo, compactando), la dualidad es entre clases de (co)homología , no ciclos y cociclos. Existe un isomorfismo de cadena explícito (el producto de la tapa con la clase fundamental) para el singular (co)homológico pero si queremos obtener una forma p, necesitaríamos un mapa dualizador que envíe una forma (¿lisa?) $p$ -ciclo a un suave $n-p$ - forma diferencial . No he podido encontrar una descripción explícita de dicho mapa. Sin embargo, en una variedad compacta, podríamos simplemente elegir el ciclo $\Sigma_{p+1}$ y elegir cualquier de su clase de cohomología dual como $\delta^{(10-p-1)}(\Sigma_{p+1})$ . Entonces la teoría física se vería obligada a disfrutar otra simetría gauge superior $\delta^{(10-p-1)}(\Sigma_{p+1})\mapsto \delta^{(10-p-1)}(\Sigma_{p+1}) + \mathrm{d}\Lambda^{(10-p-2)}$ lo que parece un poco malo porque la forma de la función delta aparece como la "densidad de carga eléctrica/magnética" de la brana y una densidad de carga no debería ser variante gauge. ¿Es realmente así?
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Existe una "dualidad de Poincaré" para las variedades no compactas que dice que el mapa que $\Omega^p(X) \to \Omega_c^{n-p}(X)^\ast, \omega\mapsto (\eta\mapsto\int_X \omega\wedge \eta)$ induce en $H^p(X)\to H^{n-p}_c(X)^\ast$ es un isomorfismo. (Elementos continuos en) $\Omega_c^{n-p}(X)^\ast$ sería corrientes deRham sobre X, la generalización propia de las distribuciones a los colectores. Así que si tuviéramos una forma de asociar un $p$ -forma a un suave $p$ -ciclo, esto daría la dualidad deseada. Sin embargo, aunque tenemos que $H_p(X,\mathbb{R})\cong H^p(X,\mathbb{R})$ porque este último es el dual del primero y son espacios vectoriales de dimensión finita, este isomorfismo no es natural, lo que nos impide identificar las clases de ciclos con las clases de cociclos.
¿Alguien sabe cómo se cuenta la historia de cómo construir $\delta^{(10-p-1)}(\Sigma_{p+1})$ de forma coherente ?
Este La pregunta matemática sin respuesta.SE parece estrechamente relacionada.
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