Demostrar que $\sum_{j=0}^{n}H_j{n\choose j}^2={2n\choose n}\left(2H_n-H_{2n}\right)$

Question

Dejemos que $H_n$ el $n$ números armónicos y $H_0=0.$

Demostrar que $$\sum_{j=0}^{n}H_j{n\choose j}^2={2n\choose n}\left(2H_n-H_{2n}\right)$$

Me encuentro con este problema desde 2012 y he verificado numéricamente y no estoy seguro de que sea correcto con seguridad. Así que alguien puede ayudarme a probarlo.

Answer 1

Dejemos que $j\leq n$ y definamos $$H_{n}\left(x\right)=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n+x}.$$ No es difícil demostrar que $$\frac{d}{dx}\dbinom{x+n}{j}=\dbinom{x+n}{j}\left(H_{n}\left(x\right)-H_{n-j}\left(x\right)\right)$$ así que en particular $$\frac{d}{dx}\dbinom{x+n}{j}_{x=0}=\dbinom{n}{j}\left(H_{n}-H_{n-j}\right).$$ Ahora para el Identidad Chu-Vandermonde tenemos $$\sum_{j=0}^{n}\dbinom{n+x}{j}\dbinom{n}{n-j}=\dbinom{2n+x}{n}$$ por lo que si tomamos la derivada tenemos $$\sum_{j=0}^{n}\dbinom{n+x}{j}\dbinom{n}{n-j}\left(H_{n}\left(x\right)-H_{n-j}\left(x\right)\right)=\dbinom{2n+x}{n}\left(H_{2n}\left(x\right)-H_{n}\left(x\right)\right)$$ entonces, si tomamos $x=0$ , $$H_{n}\sum_{j=0}^{n}\dbinom{n}{j}^{2}-\sum_{j=0}^{n}\dbinom{n}{j}^{2}H_{j}=\dbinom{2n}{n}\left(H_{2n}-H_{n}\right)$$ pero como $$\sum_{j=0}^{n}\dbinom{n}{j}^{2}=\dbinom{2n}{n}$$ tenemos $$\sum_{j=0}^{n}\dbinom{n}{j}^{2}H_{j}=\dbinom{2n}{n}\left(2H_{n}-H_{2n}\right).$$