El cálculo de la distribución relativa de golpear tiempo.

Question

Deje $\xi_1, \xi_2,\cdots$ ser yo.yo.d. elementos aleatorios con distribución $\mu$ en algunos medibles espacio de $(S,\mathcal S)$, fijar un conjunto $A\in \mathcal S$$\mu A >0$, poner $\tau$ = $\inf\{k; \xi_k \in A \}$ (el primero golpeando el tiempo). Mostrar que $\xi_\tau$$\mu[\cdot|A]=\mu[\cdot\cap A]/\mu A$.

Intuitivamente, $\xi_\tau\in B \Leftrightarrow \xi_\tau \in A\cap B$, ya que el $\xi_i$ son todos yo.yo.d., podemos intuitivamente llamarlos $\xi$, su distribución es, a continuación,$P\{\xi_\tau \in B\} = P\{\xi\in B|\xi \in A\}=\mu[B\cap A]/\mu A$.

Pero no sé cómo argumentar que es rigurosamente, por definición, $\xi_i$ $\xi_j$ tienen distribuciones idénticas sólo significa $P\{\xi_i\in B\} = P\{\xi_j\in B\}$.

(También acepto respuestas que totalmente ajenas a mi argumento.)

Por CIERTO, es, por definición, $\xi_\tau(w)=\lim_{k\rightarrow \infty} \xi_k(w)$ si $\tau(w) = \infty$? Pero se vuelve extraño $S$ es sólo un espacio por lo tanto no sabemos cuál es el $\lim$ medios. (Aunque en este problema se podía ignorarlo, ya que simplemente hace $\xi_\tau(w) \notin B$, así que, básicamente, cualquiera que conteste esta pregunta podría ignorar este error menor a menos que sea importante en la respuesta.)

Answer 1

Lo primero es lo primero, por suerte, $\tau$ es una.s. finito. De hecho, $\tau$ es geométricamente distribuidos:

$$\mathbb{P}(\tau = k) = pq^{k-1}$$ with $p = \mathbb{P}(\xi \en A)$ and $q = 1-p.$ For this reason $\tau <{+}\infty$ holds a.s. (essentially you are doing successive Bernoulli trials). Now let us compute the distribution of $\xi_{\tau}$. Note that $\tau$ assumes only a countable set of values, thus we can write for any $B \in \mathcal{S}$: $$ \mathbb{P}(\xi_{\tau} \B ) = \sum_k \mathbb{P}(\xi_{k} \B, \tau = k) = \sum_k \mathbb{P}(\xi_k \in B \cap a, \ \ \xi_l \en A^c, \forall l < k ) $$ y ahora podemos usar la independencia para calcular este último término: $$ \mathbb{P}(\xi_{\tau} \B ) = \sum_k \mathbb{P}(\xi_k \in B \cap a)p^{k-1} = \mathbb{P}(\xi \B | \xi \a)\cdot p\sum_{k \ge 1}p^{k-1}. $$

Ahora la evaluación de la serie geométrica da el resultado deseado.