He estado trabajando con la serie:
$$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^{2n-1}}{2n-1}$$
Desde el test de la razón está claro que la serie converge para $|x| < 1$, pero no he podido obtener la suma de la serie.
Estoy buscando alguna pista sobre cómo obtener la suma.
¡Gracias de antemano!
Deje que $f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}x^{2n-1}}{2n-1}$. Entonces tenemos
$$\begin{align} f'(x)=\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1}x^{2n-2}&=\frac{-1}{x^2}\sum_{n=1}^{\infty} (-x^2)^{n}\\\\ &=\frac{1}{1+x^2} \tag 1 \end{align}$$
Integrar $(1)$ y usando $f(0)=0$ revela que
$$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{f(x)=\arctan(x)}$$
(+1) Similar to the approach I was going to take. I was going to note that it was the same as $$\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}$$ and then show that the derivative of that was $\frac1{1+x^2}$ (+1) Parecido al enfoque que iba a tomar. Iba a notar que era lo mismo que $$\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}$$ y luego mostrar que la derivada de eso era $\frac1{1+x^2}$
Sea $y$ nuestra suma, entonces:
$$ y=\sum_{n=1}^{\infty}{{(-1)}^{n+1}\frac{{x}^{2n-1}}{2n-1}} $$
Diferenciemos para obtener:
$$ y'=\sum_{n=1}^{\infty}{{(-1)}^{n+1}{x}^{2n-2}}\\ y'=\sum_{n=1}^{\infty}{{(-1)}^{n-1}{x}^{2n-2}}\\ y'=\sum_{n=1}^{\infty}{{(-1)}^{n+1}{(-x^2)}^{n-1}}\\ y'=\frac{1}{1+x^2} $$
Ahora integramos para obtener la suma original:
$$ y=\arctan{x} + C $$
Es fácil ver que para $x=0$ tenemos $y=0$, así que $C=0$, por lo tanto la suma es igual a:
$$ \sum_{n=1}^{\infty}{{(-1)}^{n+1}\frac{{x}^{2n-1}}{2n-1}}=\arctan{x} $$
Estaba escribiendo mi respuesta al mismo tiempo, por eso no me di cuenta de la otra respuesta.
$$(-1)^{n+1}\dfrac{x^{2n-1}}{2n-1}=i^{2(n+1)}\cdot\dfrac{x^{2n-1}}{2n-1}=-i\cdot\dfrac{(ix)^{2n-1}}{2n-1}$$
Si $S=\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n+1}\dfrac{x^{2n-1}}{2n-1},$
$$i S=\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n+1}\dfrac{(ix)^{2n-1}}{2n-1}$$
Ahora para $-1
$\ln(1-y)=-y-\dfrac{y^2}2-\dfrac{y^3}3-\dfrac{y^4}4-\cdots$
$\ln(1+y)-\ln(1-y)=?$
$$\implies2i S=\ln(1+ix)-\ln(1-ix)=\ln\dfrac{1+ix}{1-ix}$$
Sea $1=r\cos A,x=r\sin A, x=\tan A$
Ahora, $$\ln\dfrac{1+ix}{1-ix}=\ln(e^{2iA})=2iA=2i\arctan x$$
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Diferencie por x, use la suma geométrica, integre y use que f(0)=0. El resultado es arctan(x)