Automorfismos de primaria extensiones

Question

Creo que esto es probablemente una pregunta muy simple, pero he sido desconcertante sobre él por un tiempo y parece que no puede conseguir en cualquier lugar.

Supongamos $M$ es una estructura, $\alpha$ es un automorphism de $M$, e $N$ es una primaria de la extensión de $M$. Qué $\alpha$ se extiende necesariamente a un automorphism de $N$?

A mí me parece que la respuesta debe ser no, pero no puedo construir un contraejemplo. En caso de que la respuesta es no, ¿hay alguna condición natural en $N$ (o sobre cómo $M$ se encuentra dentro de $N$) que garantiza que cada automorphism de $M$ se extiende a un automorphism de $N$?

Answer 1

La respuesta es "no", y no es un simple (clase de) contraejemplo(s). Deje $A\prec B$$A\not\cong B$, y considerar la estructura de $M$ consta de dos copias de $A$ "side-by-side" (es decir, con una relación de equivalencia con dos clases de equivalencia, cada uno de los cuales es una copia de $A$). Ahora vamos a $M'$ ser la estructura conseguido mediante la sustitución de exactamente uno de los ejemplares de $A$ con una copia de $B$, y deje $\alpha$ ser el automorphism de $M$ conseguido por el intercambio de copias de $A$. Entonces claramente $\alpha$ no se extiende a un automorphism de $M'$.

Para una más difícil, pero posiblemente más interesante respuesta a la pregunta: en el papel de "Automorphism grupos de modelos de la Aritmética de Peano" (Diario de la Lógica Simbólica vol. 67 no. 4), J. Schmerl muestra que cada grupo $G$ que es isomorfo a un subgrupo de la automorphism grupo de unos orden lineal tiene la propiedad de que todos los $\mathcal{M}\models PA$ tiene primaria de la extensión de $\mathcal{N}$$Aut(\mathcal{N})\cong G$.