Es cada multiplicativo función de la matriz de anillo de $\text{Mat}_n(R)$ $R$una función de $\text{det}$?

Question

Supongamos que $R$ es un anillo conmutativo con $1$, y para $n \in \mathbb{N}$, vamos a $\text{Mat}_n(R)$ el conjunto de $n \times n$ matrices con entradas en $R$.

Es bien sabido que el determinante de la función de $\text{det} : \text{Mat}_n(R) \rightarrow R$ es multiplicativo, es decir,

$$ \text{det}(AB) = \text{det}(A) \text{det}(B) $$

$\text{det}$ no es ciertamente única en este sentido; hay una gran cantidad de funciones $g : \text{Mat}_n(R) \rightarrow R$ cuales son multiplicativas. Para empezar, hay la constante $1$ y constante $0$ funciones, así como la función de indicador de "es invertible". Más extrañamente, para $R = \mathbb{R}$, son las funciones

$$ g(A) = \begin{cases} e^{f(\log(\left|\det(A)\right|))} &\text{if} \det(A) \neq 0 \\ 0 &\text{if} \det(A) = 0 \end{casos} $$

donde $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ es cualquier solución de la de Cauchy funcional de la ecuación de $f(x+y) = f(x)+f(y)$ : no continua de las soluciones de esta ecuación son muy mal educados.

Sin embargo, no he encontrado ningún ejemplo de multiplicación de funciones que no son en sí mismos una función de $\det$.

Es allí cualquier función que no es una función de det?

Es decir, hay un anillo de $R$, $n \in \mathbb{N}$ $g : \text{Mat}_n(R) \rightarrow R$ que es multiplicativa, y no una función de det, es decir no existe $A,B \in \text{Mat}_n(R)$ tal que

$$ \begin{align} \det(A) &= \det(B) \\ g(A) &\neq g(B) \end{align} $$

Answer 1

Supongamos $R$ satisface las siguientes condiciones.

• $R$ tiene un elemento $x\neq 1$$x^2=1$.
• Hay un surjective anillo homomorphism $q:R\to\mathbb{F}_2$.

Por ejemplo, $R=\mathbb{Z}$ $x=-1$ o $R=S\times\mathbb{F}_2$ donde $S$ tiene un elemento $s$ de multiplicativa orden de $2$, e $x=(s,1)$.

A continuación, $q$ induce un anillo homomorphism $\text{Mat}_2(R)\to\text{Mat}_2(\mathbb{F}_2)$, que yo también voy a denotar por $q$.

Un elemento $X$ $\text{GL}_2(\mathbb{F}_2)$ actúa sobre los tres vectores no nulos de a $\mathbb{F}_2^2$, y voy a decir $X$ es incluso o impar dependiendo de si se actúa por un par o impar de permutación.

No es una función multiplicativa $g:\text{Mat}_2(R)\to R$ con $$g(A)= \begin{cases} 0&\mbox{if %#%#% is not invertible}\\ 1&\mbox{if %#%#% is invertible and even}\\ x&\mbox{if %#%#% is invertible and odd.} \end{casos}$$

Pero $q(A)$ no es una función de $q(A)$, ya que para $q(A)$ y $g(A)$, $\det(A)$ pero $A_1=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$.