Encontrar el valor mínimo de la expresión $P=\frac{x^2}{\sqrt{x^3+8}}+\frac{y^2}{\sqrt{y^3+8}}+\frac{z^2}{\sqrt{z^3+8}}$

Question

Deje $x,y,z$ número real positivo tal que $xy+yz+zx=3$. Encontrar el valor mínimo de la expresión $$P=\frac{x^2}{\sqrt{x^3+8}}+\frac{y^2}{\sqrt{y^3+8}}+\frac{z^2}{\sqrt{z^3+8}}$$

Answer 1

Es fácil adivinar a partir de la simetría que $x=y=z=1$ debe dar el mínimo de $1$, y vamos a tratar de demostrar esto. Por Cauchy-Schwarz Desigualdad:

$$\left(\sum_{cyc} \frac{x^2}{\sqrt{x^3+8}} \right)\left(\sum_{cyc} \sqrt{x^3+8} \right) \ge (x+y+z)^2$$

Utilizaremos $\sum$ para denotar cíclico sumas. A partir de lo anterior, si se demuestra que $(x+y+z)^2 \ge \sum \sqrt{x^3+8}$, luego tenemos a $P \ge 1$.

Como se señaló en los comentarios, podemos usar $2\sqrt{x^3+8} \le (x+2)+(x^2-2x+4) = x^2-x+6$, por lo que es suficiente para mostrar que: $$2\sum x^2+4\sum xy \ge \sum x^2-\sum x+18 \iff \sum x^2+\sum x \ge 6$$

Pero $\sum x^2 \ge \sum xy = 3$$\left( \sum x\right)^2 \ge 3\sum xy = 9 \implies \sum x \ge 3$, así que esto es cierto.