Si $G$ es un grupo finito, donde todos los no-identidad es el elemento generador de $G$, ¿cuál es el orden de $G$?

Question

Si $G$ es un grupo finito, donde todos los no-identidad es el elemento generador de $G$, ¿cuál es el orden de $G$?

Sé que el orden de $G$ debe ser un primo, pero no estoy seguro de cómo ir sobre el probar esto a partir de la declaración del problema.

Consejos sobre dónde empezar?

Answer 1

Supongamos que el orden de $G$ no fue el primer y deje $n$ ser el orden de $G$. A continuación, para todos los $k\in \mathbb{Z}$, que se dividen $n$, el subgrupo generado por a $g^k$ sólo ha $n/k$ elementos, mientras que $G$ $n$ elementos.

Por lo tanto, el subgrupo generado por a $g^k$ no puede igualar $G$.

Por lo tanto, el orden de $G$ debe ser un primo.

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Debe mi prueba algo como esto?

Answer 2

El uso del Teorema de Cauchy: vamos a $p$ ser un primer dividiendo $|G|$. A continuación, $G$ tiene un elemento $g$ orden $p$. Al parecer, este elemento $g$ genera $G$. Por lo tanto $|G|=p$.

Answer 3

Ya que cada nonidentity elemento de $G$ es un generador, $G$ es generado por algún elemento $x$; por lo tanto $G$ es cíclico. Si el orden de $G$ es compuesto, decir $|G|=p r$ donde $p, r >1$, entonces existe un nonidentity elemento $x^p$ que no genere $G$, una contradicción. Por lo tanto, el orden de $G$ debe ser una de las primeras.