Factorización de $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$

Question

¿Cómo se puede factorizar un número, por ejemplo $9+4\sqrt{2}$ en $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ ?

Esto es lo que he intentado hacer: $$(a_1+b_1\sqrt{2})(a_2+b_2\sqrt{2}) $$ $$a_1a_2+a_1b_2\sqrt{2}+a_2b_1\sqrt{2}+2b_1b_2$$ Así, \begin{eqnarray} a_1a_2+2b_1b_2&=&9 \\ a_1b_2+a_2b_1 &=& 4. \end{eqnarray}

Pero esto da como resultado 4 variables y sólo 2 ecuaciones.

Answer 1

La cuestión es, por supuesto, que quieres tener en cuenta primos . La norma en $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ es $N(a+b\sqrt 2)=a^2-2b^2$ Así que $N(9+4\sqrt 2)=49$ y sólo tenemos que preocuparnos de los primos de la norma $\pm 7$ . Entonces, ¿cuándo $a^2-2b^2=\pm 7$ con $a,b$ enteros? Bueno, $(3,1)$ parece tentador, pero no funciona. Así que simplemente tomamos el conjugado de $3+\sqrt 2$ que debe estar en el otro primo que divide a $7$ . Y efectivamente, $(3-\sqrt 2)(5+3\sqrt 2)$ es la factorización deseada. Nota: $3-\sqrt 2$ debe ser un asociado de $1+2\sqrt 2$ que figuraba en la otra factorización sugerida.

Answer 2

No todos los números se pueden tener en cuenta $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ También ha $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ -números primos, como $3$ o $\sqrt{2}$ . Además, otros números tienen muchas factorizaciones. Por ejemplo, los números de $\mathbb{z}$ como $60$ que tienen al menos todos los $\mathbb{Z}$ como la factorización, como $10\cdot6$ o $12\cdot5$ . Así que no hay una solución única. Incluso puede que no haya una solución no trivial.

Tienes dos $\mathbb{Z}$ -grado de libertad demasiado. Intenta proceder con cuidado, y deduce el valor de dos variables a partir del valor de otras dos. Probablemente tengas que comprobar la condición de existencia para evitar la división por $0$ y como tus ecuaciones son cuadráticas, es probable que acabes con raíces cuadradas. Así que básicamente estarás en un problema de encontrar si algunas fórmulas se pueden hacer un cuadrado entero.

Sidenote : Por ejemplo, si usted está en $\mathbb{Z}$ , básicamente estás tratando de resolver algo como $a \cdot b = 17$ . No siempre es posible resolver de forma no trivial y a veces hay muchas soluciones, como en $a \cdot b = 60$ .

Nota: : Es posible que quieras hacer una factorización de primos. En ese caso, tienes que calcular primero el factor primo, y probablemente sería mejor que hicieras otra pregunta.