¿Por qué el gradiente absoluto del tensor métrico $\nabla_{\alpha} g_{\mu \nu} = 0$ en cada sistema de coordenadas?

Question

¿Hay alguna explicación intuitiva de por qué el gradiente absoluto del tensor métrico $\nabla_{\alpha} g_{\mu \nu} = 0$ en cada sistema de coordenadas?

Answer 1

Por el teorema fundamental de la geometría de Riemann, en una variedad $M$ con métrica $g$ siempre es posible elegir una conexión $\nabla$ tal que,

$$\partial_X \langle Y,Z\rangle = \langle \nabla_X Y,Z\rangle + \langle Y, \nabla_X Z \rangle$$

donde $X,Y$ y $Z$ son campos vectoriales. Convirtiendo a notación de índice explícito, es posible mostrar que esta condición implica que siempre podemos elegir una conexión tal que $\nabla_a g_{bc} = 0$ .

Por lo tanto, para responder directamente a tu pregunta, siempre podemos elegir una conexión, es decir, elegir un medio de transporte paralelo de los vectores tangentes, de tal manera que se cumplan las condiciones de compatibilidad métrica.

Hay que subrayar que esta elección de conexión, la conexión Levi-Civita (que tiene la condición añadida de ser libre de torsión) es sólo una elección de conexión, para el haz tangente sobre $M$ y, por supuesto, hay otras opciones y otros paquetes que considerar, para los que no es cierto.