Si$f$ y$g$ son integrables, entonces$h(x,y)=f(x)g(y)$ es integrable con respecto a la medida del producto.

Question

Tengo que demostrar que$h$ es medible, así como$\int h d(\mu \times \nu) < \infty$.

Intenté demostrar por contradicción que$\int h$ tenía que ser finito, pero no puedo mostrar cómo se puede medir.

Answer 1

1 - capacidad de Medición:

Hecho: una función es medible si y sólo si es el pointwise límite de una sucesión de funciones simples.

Así que tome $s_n, t_n$ simple tal que $f(x)=\lim s_n(x)$ por cada $x$ $g(y)=\lim t_n(y)$ por cada $y$. A continuación, $h(x,y)=f(x)g(y)=\lim s_n(x)t_n(y)$ por cada $(x,y)$. Sólo queda observar que cada una de las $(x,y)\longmapsto s_n(x)t_n(y)$ es una función simple a la conclusión de que la $h$ es medible. Esto se deduce fácilmente a partir de $$ 1_A(x)1_B(y)=1_{A\times B}(x,y). $$

2 - Integrabilidad:

Vamos a utilizar el teorema de convergencia monótona, con la asunción de que no han demostrado ser Fubini todavía. De lo contrario, esto es trivial. Pero ¿cómo se puede tener Fubini si usted no tiene la capacidad de medición?

Tomar dos no decreciente secuencias de no negativo de funciones simples $s_n(x)$, $t_n(y)$ la convergencia de pointwise a $|f(x)|$ $|g(y)|$ respectivamente. A continuación, $s_n(x)t_n(y)$ es una secuencia no decreciente de no negativo de funciones simples convergentes pointwise a $|h|$. Por el teorema de convergencia monótona $$ \int |h| \;d(\mu\times \nu)=\lim\int s_n(x)t_n(y)\;d(\mu\times \nu)(x,y). $$ Por la definición del producto a medida $$ \int 1_{A\times B}\;d(\mu\times \nu)=(\mu\times \nu) (A\times B)=\mu(A)\nu (B)=\int 1_Ad\mu\int 1_Bd\nu. $$ Por linealidad, esto se extiende a las funciones simples. Por lo tanto, por la monotonía de la convergencia de nuevo, $$ \int s_n(x)t_n(y)\;d(\mu\times \nu)(x,y)=\int s_nd\mu\int t_nd\nu\longrightarrow \int |f|d\mu\int |g|d\mu<\infty. $$ Por lo $h$ es integrable con $$ \int |h| \;d(\mu\times \nu)=\int |f|d\mu\int |g|d\nu. $$ Tenga en cuenta que la aplicación de los anteriores a $f_{\pm}$$g_{\pm}$, podemos deducir $$ \int h \;d(\mu\times \nu)=\int fd\mu\int gd\nu. $$

Answer 2

Pista: muestra que$\int f(x)g(y) d(\mu\times \nu)=\int f(x)(\int g(y)d\nu)d\mu$.