Deje $A$ $B$ ser de dos formas geométricas en el plano (dos subconjuntos medibles de $\mathbb{R}^2$) tal que $A\subseteq B$.
Definir un $path$ $A$ $B$como una función de $f$ $[0,1]$ a los subconjuntos de a $\mathbb{R}^2$ tal forma que:
- $f(0)=A$.
- $f(1)=B$.
- $f$ es monótona creciente, es decir, por cada $t'>t$, $f('t)\supseteq f(t)$.
- $Area(f(t))$ es una función continua de $t$.
Intuitivamente, un camino describe cómo la forma $A$ crece continuamente hasta que se convierte en $B$. Tiene sentido que dicha función existe. Pero, ¿cómo puedo demostrarlo?
Alternativamente, si un camino no siempre existe, ¿cuáles son las condiciones en las $A$ $B$ que garantiza que lo hace?