Un camino continuo entre las formas.

Question

Deje $A$ $B$ ser de dos formas geométricas en el plano (dos subconjuntos medibles de $\mathbb{R}^2$) tal que $A\subseteq B$.

Definir un $path$ $A$ $B$como una función de $f$ $[0,1]$ a los subconjuntos de a $\mathbb{R}^2$ tal forma que:

• $f(0)=A$.
• $f(1)=B$.
• $f$ es monótona creciente, es decir, por cada $t'>t$, $f('t)\supseteq f(t)$.
• $Area(f(t))$ es una función continua de $t$.

Intuitivamente, un camino describe cómo la forma $A$ crece continuamente hasta que se convierte en $B$. Tiene sentido que dicha función existe. Pero, ¿cómo puedo demostrarlo?

Alternativamente, si un camino no siempre existe, ¿cuáles son las condiciones en las $A$ $B$ que garantiza que lo hace?

Answer 1

Supongamos $B$ está acotada.

Si $A$ es no vacío, elegir un punto en $A$, se $0$. Definir $C_r$ ($r \geq 0$) para ser el cerrado disco de radio $r$$0$. Desde $B$ está delimitado existe $c \in \mathbb{R}$ tal que $C_c \supset B$.

Si $A$ está vacía, pero $B$ es no, entonces escoja $0 \in B$, y definir $C_r$ ($r \geq 0$) el libre disco de radio $r$$0$; de nuevo desde $B$ está delimitado existe $c \in \mathbb{R}$ tal que $C_c \supset B$.

(Si $A$ $B$ son tanto vacío, el resultado es trivial).

De cualquier manera, definir $f(t) = (A \cup C_{ct}) \cap B$$0 \leq t \leq 1$.

Claramente $f(0) = A$, $f(1) = B$, y $f$ es monótonamente creciente.

En fin, que el $Area(f(t))$ es continuo puede ser visto en el hecho de que $Area(C_{ct})$ es continua y $Area(f(t+h)) - Area(f(t)) \leq Area(C_{c(t+h)}) - Area(C_{ct})$.

Yo creo que si $B$ no está limitado, a continuación, definiendo $f(t) = (A \cup C_{\frac{t}{1-t}}) \cap B$ $0 \leq t < 1$ $f(1) = B$ obras, pero no sé lo suficiente acerca de la teoría de la medida completamente de convencerme de que $Area(f(t))$ es continua en a $1$ entonces.