Un ejemplo de expectativa condicional

Question

Una fábrica ha producido n robots, cada uno de los cuales es defectuoso con probabilidad $ \phi $ . A cada robot se le aplica una prueba que detecta el fallo (si está presente) con probabilidad $ \delta $ . Que X sea el número de robots defectuosos, y que Y sea el número detectado como defectuoso.

Asumiendo la indenpendencia habitual, determinar el valor de $ \mathbb E(X|Y)$ .

Por favor, explícame el resultado en detalle o dame una buena pista pls, ya que soy muy nuevo en este concepto (de expectativa condicional).

¡Gracias!

Answer 1

$\mathbb{E}\left[ {X|Y} \right]$ es una variable aleatoria. Dado que $Y$ es una variable aleatoria discreta, $\mathbb{E}\left[ {X|Y} \right]$ es de la forma $\sum\limits_{i = 0}^n {\frac{{\mathbb{E}\left[ {X{1_{Y = i}}} \right]}}{{\mathbb{P}\left( {Y = i} \right)}}{1_{Y = i}}} $ .

Dejemos que $F$ sea el caso de que un robot esté defectuoso y $D$ ser el caso de que se detecte un robot defectuoso. Tenemos $\mathbb{P}\left( F \right) = \phi $ ,

$\mathbb{P}\left( D \right) = \mathbb{P}\left( {D|F} \right)\mathbb{P}\left( F \right) + \mathbb{P}\left( {D|{F^C}} \right)\mathbb{P}\left( {{F^C}} \right) = \delta \phi + 0\left( {1 - \phi } \right) = \delta \phi $ ,

$\mathbb{P}\left( {F|{D^C}} \right) = \frac{{\mathbb{P}\left( {{D^C}|F} \right)\mathbb{P}\left( F \right)}}{{\mathbb{P}\left( {{D^C}|F} \right)\mathbb{P}\left( F \right) + \mathbb{P}\left( {{D^C}|{F^C}} \right)\mathbb{P}\left( {{F^C}} \right)}} = \frac{{\left( {1 - \delta } \right)\phi }}{{\left( {1 - \delta } \right)\phi + \left( {1 - \phi } \right)}}$ ,

$\mathbb{P}\left( {F|D} \right) = 1$ .

$\mathbb{E}\left[ {X{1_{Y = i}}} \right] = \mathbb{E}\left[ {\sum\limits_{j = 1}^n {1_F^{\left( j \right)}} {1_{Y = i}}} \right] = \mathbb{E}\left[ {\sum\limits_{j = 1}^n {1_F^{\left( j \right)}} |Y = i} \right]\mathbb{P}\left( {Y = i} \right) = \left( {i\mathbb{E}\left[ {{1_F}|D} \right] + \left( {n - i} \right)\mathbb{E}\left[ {{1_F}|{D^C}} \right]} \right)\mathbb{P}\left( {Y = i} \right) = \left( {i\mathbb{P}\left( {F|D} \right) + \left( {n - i} \right)\mathbb{P}\left( {F|{D^C}} \right)} \right)\mathbb{P}\left( {Y = i} \right) = \left( {i + \left( {n - i} \right)\frac{{\left( {1 - \delta } \right)\phi }}{{\left( {1 - \delta } \right)\phi + \left( {1 - \phi } \right)}}} \right)\mathbb{P}\left( {Y = i} \right)$

Así que,

$\sum\limits_{i = 0}^n {\frac{{\mathbb{E}\left[ {X{1_{Y = i}}} \right]}}{{\mathbb{P}\left( {Y = i} \right)}}{1_{Y = i}}} = \sum\limits_{i = 0}^n {\left( {i + \left( {n - i} \right)\frac{{\left( {1 - \delta } \right)\phi }}{{\left( {1 - \delta } \right)\phi + 1 - \phi }}} \right){1_{Y = i}}} = \sum\limits_{i = 0}^n {\left( {\frac{{n\phi \left( {1 - \delta } \right) + \left( {1 - \phi } \right)i}}{{1 - \delta \phi }}} \right){1_{Y = i}}} = \frac{{n\phi \left( {1 - \delta } \right) + \left( {1 - \phi } \right)Y}}{{1 - \delta \phi }}$

Answer 2

Denota con $F$ el caso de que un robot esté defectuoso, con $P(F)=\phi$ y con $T$ el caso de que se haya comprobado que es defectuoso con $$P(T|F)=\delta$$ y $$P(T|F')=0$$ Así pues, según la ley de la Probabilidad Total, la probabilidad de que un robot aleatorio se someta a una prueba de fallos es igual a $$P(T)=P(T|F)P(F)+P(T|F')P(F')=\delta\cdot\phi+0=\delta\cdot\phi$$ Ahora bien, si un robot no se probó defectuoso, la probabilidad de que, no obstante, sea defectuoso es igual a $$P(F|T')=\frac{P(T'|F)P(F)}{P(T')}=\frac{(1-\delta)\phi}{1-\delta\phi}$$ Supongamos ahora que $Y$ robots fueron encontrados defectuosos, entonces $$E[X|Y]=Y+(n-Y)\cdot\frac{(1-\delta)\phi}{1-\delta\phi}=\frac{n\phi(1-\delta)+(1-\phi)Y}{1-δ\phi}$$ ya que según los cálculos anteriores si hubiera $Y$ robots probados defectuosos, entonces estos $Y$ son seguramente defectuosos, y hay un $\frac{(1-\delta)\phi}{1-\delta\phi}$ probabilidad de que cada uno de los restantes $n-Y$ los robots que no fueron probados defectuosos, es realmente defectuoso también.