Fórmula de producto infinito para una función compleja.

Question

Construya una función con cero en$z=0$ y ceros en$z=-n$ con multiplicidades$n$.

Mi respuesta es$$f(z) = z\prod_{n=1}^{\infty}\left[E_n\left(-\frac zn\right)\right]^n,$ $ donde$E_n(z)=(1-z)\exp\left(\sum_{k=1}^n\frac{z^k}k\right)$.

¿Está bien? ¿Y el producto converge?

Answer 1

Su respuesta se ve a la derecha.

Se deduce el siguiente teorema (Funciones de Una Variable Compleja, Juan B Conway, Edición India, el número de página 169).

Teorema 5.12: Vamos a $\{a_n\}$ ser una secuencia en $\mathbb{C}$ tal que $\lim |a_n| = \infty$ $a_n \neq 0$ todos los $n \ge 1$. Si $\{p_n\}$ es cualquier secuencia de números enteros tales que

$$ \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{r}{|a_n|}\right)^{p_n+1} \lt \infty$$

para todos los $r \gt 0$, luego

$$ f(z) = \prod_{n=1}^{\infty} E_{p_n}\left(\frac{z}{a_n}\right)$$ converge y $f$ es una función completa con ceros sólo en los puntos $a_n$. Si $z_0$ se produce en $\{a_n\}$ exactamente $m$ veces, luego de lo $f$ tiene un cero $z_0$ de la multiplicidad $m$.

Usted ha elegido $p_n = n$ que funciona.

Este teorema se utiliza para probar la Weirstrass teorema de Factorización.