Normalización local de curvas algebraicas.

Question

Actualmente estoy leyendo sobre la normalización teorema: Supongamos $C$ es una irreductible plano de la curva algebraica, y sea S el conjunto de puntos singulares. Entonces existe un compacto de superficie de Riemann $\hat C$ y un holomorphic mapa de la superficie a $C$ de manera tal que la imagen de $\hat C$$C$, es inyectiva en el conjunto de puntos singulares, y la inversa de la imagen de los puntos singulares es finito.

Para probar esto, nos localmente normalizar cada punto singular por la factorización en irreducibles local de la analítica de la curva de componentes (utilizando polinomios de Weierstrass). A continuación, para cada curva de componentes, obtenemos puede obtener una holomorphic, inyectiva mapa de un disco en el origen del plano complejo en el componente, que es biholomorphic si queremos eliminar el origen de la disco y el origen de la curva de componente (donde hemos colocado el punto singular en el origen). El encolado de todos estos discos a la curva de da a la normalización.

Mi pregunta es: ¿por qué estos curva de componentes corresponden exactamente a la estructura de la curva? El teorema dice que los factores y de que una normalización es posible. Específicamente:

1) Si tenemos una ordinaria de doble punto, de manera intuitiva, se deberían tener en cuenta en dos analítica de la curva de componentes. ¿Por qué es esto?

2) ¿por Qué la curva de factor en un solo componente irreducible en los puntos de curva?

Los detalles se pueden encontrar en "Introducción a las Curvas Algebraicas" por Griffiths.

Answer 1

Vamos a tomar un ejemplo de ordinario el doble de puntos.
Considere afín a la curva de $C$$y^2-x^2-x^3=0$$\mathbb C^2$.
Se ha ordinaria de doble punto en el origen $O=(0,0)$.

A pesar de $y^2-x^2-x^3$ es irreducible en a $\mathbb C[x,y]$ (e incluso en el anillo local $\mathbb C[x,y]_{(x,y)} $), el germen $y^2-x^2-x^3\in \mathcal O_{\mathbb C^2,O}=\mathbb C\lbrace x,y\rbrace$ es holomorphically reducible y factorizes como
$y^2-x^2-x^3=(y-xs(x))(y+xs(x))$ donde
$s(x)=\sqrt {1-x}=1-\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}x^2+...$ es una serie de la radio de convergencia $1$.

Esto significa que en la normalización $\tilde C$ habrá dos puntos de $O_+,O_-\in \tilde C$ sobre $O\in C$ y que en el adecuado holomorphic (pero no algebraica) de los gráficos de la normalización en $O_+$ parecerá $\; U\to C:z\mapsto (z,zs(z))$ y la normalización en $O_-$ como $\:U\to C:z\mapsto (z,-zs(z))$ (donde $U$ es un disco de radio $1$).