Cómo resolver la siguiente integral $$\int_{0}^{\infty} \frac{ \ln x}{(x+a)(x+b)} dx,$$ donde$a,b>0$$a \neq b$. Yo estaba buscando algún tipo de sustitución. Sin embargo, no acabo de ver clara.
Gracias!
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Roger Hoover
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Asumiendo $a<b$, $$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{+\infty}\frac{\log x}{(x+a)(x+b)}\,dx &=& \frac{1}{b-a}\int_{0}^{+\infty}\left(\frac{x}{x+a}-\frac{x}{x+b}\right)\frac{\log(x)}{x}\,dx\\&=&\frac{1}{2(b-a)}\int_{0}^{+\infty}\left(\frac{b}{(x+b)^2}-\frac{a}{(x+a)^2}\right)\log^2(x)\,dx\end{eqnarray*}$$ por integración por partes. Sin embargo, $$ I(a) = \int_{0}^{+\infty}\frac{a \log^2(x)}{(x+a)^2}\,dx =2\zeta(2)+\log^2(a)$$ es sencillo demostrar a través de la sustitución de $x=az$ y la diferenciación bajo el signo integral. De ello se sigue que:
$$ \int_{0}^{+\infty}\frac{\log x}{(x+a)(x+b)}\,dx = \color{red}{\frac{\log^2(b)-\log^2(a)}{2(b-a)}}.$$
diagprov
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209
Una forma de integrar la $\log$ función es como sigue: por partes deje $u = \log x$$dv = 1$. Entonces:
$\int u \frac{dv}{dx} = uv - \int v\frac{du}{dx} = x\log x - \int \frac{x}{x} = x\log x - x$
Sabiendo esto y que su integral es un producto de tres integrales usted puede, a continuación, repetidamente aplicar integración por partes dos veces para el resto de los términos.
