¿Encontrar una integral usando una tabla?

Question

Estoy en lo correcto por la coincidencia de patrón de esta integral?

Tengo

$$\int \frac{\sqrt{9x^2+4}}{x^2}dx$$

¿Este patrón coincide con:

$$\int \frac{\sqrt{a^2 + x^2}}{x^2}dx = -\frac{a^2 + x^2}{x} + \ln(x + \sqrt{a^2 + x^2}) + c$$

Si me factor a cabo el 9, me sale

$$= 3 \int \frac{\sqrt{x^2 + \frac{4}{9}}}{x^2}$$ con $a = \frac{2}{3}$

Obtengo: $$3 \left( - \frac{\sqrt{\frac{4}{9}+x^2}}{x} + \ln\left(x+\sqrt{\frac{4}{9}+x^2}\right) +c\right)$$

Es este el camino correcto?

Wolfram vientos con una respuesta diferente a pesar de que:

Answer 1

De hecho eres correcto. Tenga en cuenta que en una integral indefinida, las respuestas perfectamente válidas se pueden separar por (cualquier) constante.

El primer término en la respuesta de Wolfram se puede reescribir:

$3\ln{(\frac32(x+\sqrt{\frac49 + x^2}))} = 3\ln{(x+\sqrt{\frac49 + x^2})} + 3\ln\frac 32$

y el segundo término se puede reorganizar para que sea idéntico a su otro término.

Así que tus respuestas están separadas por una constante. Esta bien. Tienes razón.