En un curso basado en un libro como Principios de Análisis Matemático de Rudin que hace análisis no teórico de la medida, ¿por qué no se enseña la convergencia dominada? Sería útil ya que las funciones continuas son medibles por Lebesgue. ¿No hay una forma de demostrar una versión no teórica de la medida de esta afirmación?
El teorema de convergencia dominada habitual (de Lebesgue) se desprende del lema de Fatou, que es una consecuencia del teorema de convergencia monótona. El truco sería establecer alguna forma del teorema de convergencia monótona. En realidad, esto no es muy obvio sin la teoría de la medida. Una versión simplificada se llama a veces "Teorema de convergencia dominada de Arzela", que es la convergencia dominada con el supuesto de que $|f_n(x)|\leq M$ y que $f_n$ converge a una función integrable de Riemann. Se puede encontrar una "prueba elemental" aquí . Hay un par de pruebas, pero el quid de la mayoría es establecer la noción de aditividad contable de las medidas. Esto se da completamente por sentado en la teoría de la medida porque se establece desde el principio. Para recordar por qué se necesita esto, eche un vistazo a la demostración de teorema de convergencia monótona . Requiere tomar el límite de la medida de una secuencia de conjuntos crecientes, cuya prueba se basa en la aditividad contable.
En resumen: El teorema de convergencia dominada no suele enseñarse en los cursos de introducción al análisis, porque no existe un teorema análogo directo (véase el contraejemplo más abajo).
Sin embargo, existen algunos teoremas de análisis no teóricos de la medida más débiles que se acercan al Teorema de Convergencia Dominada, pero tienen requisitos más fuertes.
La existencia del Teorema de Convergencia Dominada es una de las principales razones de la fuerza de la teoría de Lebesgue. Recomiendo la lectura de ¿Debemos volar en el avión diseñado por Lebesgue? (gracias a EricTowers por señalar ese documento). En el artículo se dice:
El valor de la teoría de Lebesgue sobre la teoría de Riemann es que es superior, como teoría de la integración. Con esto se quiere decir que hay teoremas en la teoría de Lebesgue que son verdaderos y útiles, pero que no son ciertos en la teoría de Riemann. Probablemente el más teorema más importante es la potente versión del teorema de convergencia Teorema de Convergencia Dominada que se tiene en la teoría de Lebesgue.
Contraejemplo
He aquí un contraejemplo de por qué no existe una versión análoga del Teorema de Convergencia Dominada:
Consideremos una secuencia contable $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ de $\mathbb{Q} \cap [0,1]$ . y la función definida en [0,1] como
$$ f_n(x) = \begin{cases} 1, & x \in \{x_1,\dots,x_n \} \\ 0, & else \end{cases}$$
Cada $f_n$ es integrable de Riemann ya que es continua en casi todas partes
Además tienes $$\int_0^1 f_n(x) dx = 0 $$ para todos $n \in \mathbb{N}$ .
La secuencia $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ converge monótonamente hacia $$ f(x) = \begin{cases} 1, & x \in \mathbb{Q} \cap [0,1] \\ 0, & else \end{cases}$$
Sin embargo, $f$ no es integrable por Riemann y el símbolo $$\int_0^1 f \, dx $$ no tiene sentido y tú no puede escribir
$$ \int_0^1 f \, dx = \lim_{n \to \infty} \int_0^1 f_n(x) dx = 0 .$$
Sin embargo, como $f \leq 1$ es claramente integrable en Lebesgue, se puede escribir la ecuación anterior para integrales de Lebesgue.
Teoremas análogos de no medida:
Así que este es el Teorema de Convergencia Dominada:
Dejemos que $(f_n)_{n=1}^\infty$ sea una secuencia de funciones medibles que convergen puntualmente a $f$ . Supongamos además que una función integrable $g$ existe con $|f_n | \leq g$ . Entonces se sostiene que $$ \int f dx = \lim_{n\to \infty} \int f_n dx $$
En el caso de la integral de Lebesgue, tienes que de $|f_n| \leq g $ se deduce que cuando $g$ es integrable, entonces también lo es $f_n$ . Además, esto también implica que $f$ es integrable, simplemente por $$ \int f \, dx = \lim_{n \to \infty} \int f_n \, dx \leq \int g \, dx < \infty .$$
En el análisis no teórico de la medida esto no es cierto. Por lo tanto, si $g$ es integrable de Riemann, y se tiene una secuencia $f_n$ que convergen puntualmente a $f$ con $|f_n| \leq g$ entonces tampoco $f_n$ ni $f$ tienen que ser integrables de Riemann. Por lo tanto, en el análisis no teórico de la medida, hay que añadir requisitos que obliguen a que $f_n$ y $f$ son integrables de Riemann.
Un posible requisito sería exigir que todo el $f_n$ están limitados por la misma constante $M$ , integrable de Riemann y que el limitar $f$ también es integrable de Riemann (ver este enlace declarado por Alex):
Si $(f_n)_{n=1}^\infty$ es una secuencia de funciones integrables de Riemann que están limitadas por la misma constante $M>0$ , definido en un intervalo compacto $I$ y convergen puntualmente hacia una función integrable de Riemann $f$ , entonces se sostiene $$ \int_I f dx = \lim_{n\to \infty} \int_I f_n dx $$
Otra restricción sería exigir que el $f_n$ son integrables de Riemann y convergen uniformemente a $f$ . Esto también implica que $f$ es integrable de Riemann.
Si $(f_n)_{n=1}^\infty$ es una secuencia de funciones integrables de Riemann definidas en un intervalo compacto $I$ que convergen uniformemente con el límite $f$ entonces $f$ es integrable y se cumple que $$ \int_I f dx = \lim_{n\to \infty} \int_I f_n dx $$
El teorema de convergencia dominada tiene una convergencia puntual a $f$ , lo que a través de la teoría de la medida implica que $f$ es medible. En este caso, sería ciertamente razonable exigir que la función limitadora $f$ sean integrables de Riemann. Su punto es razonable si intentamos demostrar un teorema de convergencia monótona para $f_n$ convergiendo a algo no integrable de Riemann.
@AlexR Pero no es necesario exigir eso $f$ En mi opinión, la razón por la que los teoremas de convergencia analítica son tan débiles (y por lo tanto no son populares) es porque hay que exigir que el límite sea integrable en Riemann. Mientras que para la Medida de Lebesuge basta con una función dominada, integrable, o una secuencia monótona para asegurar la integrabilidad del límite. Creo que la diferencia se pone de manifiesto en mi ejemplo.
Para que quede claro, "integrable" significa que o bien la integral es finita, o bien infinita ¿no? En la convergencia dominada, se requiere que $|f_n|\leq |g|$ donde $g$ es integrable. Se deduce que $f$ también es integrable, por pura monotonía de las integrales, junto con el hecho de que $f$ debe ser medible. No se puede hacer una afirmación similar en el sentido de Riemann, como bien has demostrado. El teorema de convergencia monótona es aún más laxo, ya que ni siquiera es necesario que la secuencia converja (en cuyo caso la integral es infinita).
Me atrevería a decir que había "teoremas convergentes dominados" bien conocidos antes de la revolución de Lebesgue. Me vienen a la mente dos ejemplos: uno, el caso de las series infinitas; este SES es bastante sencillo de demostrar, no se necesita teoría de la medida. El segundo se refiere a la integración en un intervalo. Podemos tener, por ejemplo, una secuencia de funciones continuas $f_n$ en $(0,\infty)$ que están limitados en valor absoluto por algún $g:(0,\infty) \to [0,\infty).$ Además, suponemos que $\int_0^\infty g <\infty,$ y que $f_n\to f$ uniformemente en $[a,b]$ para cualquier $0<a<b<\infty.$ En este caso obtenemos $\lim \int_0^\infty f_n \to \int_0^\infty f.$ Esto tampoco es difícil de demostrar y, de nuevo, no se necesita ninguna teoría de la medida.
Creo que sería bueno cubrir estas SES "fáciles" en un primer curso de análisis de nivel Rudin. Entonces, cuando los estudiantes vean el gran SES en la teoría de la medida, estarán preparados para ello.
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