Enlace entre$f$ y$f'$

Question

Estoy teniendo un momento difícil con los ejercicios de la forma : $f'$ comprobar algunas propiedades de demostrar que $f$ es que : ...

El principal problema que tengo es que en el fin de vincular $f$ y es derivado sólo sé que : $f(x) = f'(a)(x-a) + o(x)$ en un neighboorhhod de $a$. Sin embargo, esta fórmula no es exacta en todos y solo útil para calcular el límite. El $o(x)$ plazo hace que sea imposible para manipular/do $\epsilon$ pruebas. Entonces, ¿hay una manera de tener una fórmula precisa que el enlace de $f$ y es derivado por lo que es más adecuado para los $\epsilon$ prueba ?

Por ejemplo, vamos a considerar el siguiente :

Deje $f \in C^1(\mathbb{R}, \mathbb{R})$. Por otra parte sabemos que en $[a,b]$ $\inf \mid f' \mid = K$ demostrar que $\mid f\mid \geq Kx $ a $[a,b]$

Esto es intuitivamente obvio. Sin embargo, el uso de la fórmula $f(x) = f'(a)(x-a) +o(x)$ no ayuda en absoluto, ya que es sólo un asintótica.

Por lo tanto hay una manera/fórmula que relaciona, precisamente, el comportamiento de $f$ y el comportamiento de $f'$ , de modo que $\epsilon$ rpoofs son posibles ?

Gracias !

Answer 1

PS

donde $$|f'(x)|=K+\psi(x)~~\forall~x\in [a,b]$

Si $\psi(x)\geq 0$ , entonces $f'(x)\lt 0$ $

Si $$\begin{align}-f'(x)=K+\psi(x)&\implies -f(x)=Kx+\int\psi(x)~\mathrm dx\geq Kx+0=Kx\\&\implies |-f(x)|=|f(x)|\geq |K||x|=K|x|\geq Kx\end{align}$ , entonces $f'(x)\geq 0$ $

Entonces, en cualquier caso tenemos $$\begin{align}f'(x)=K+\psi(x)&\implies f(x)=Kx+\int\psi(x)~\mathrm dx\geq Kx+0=Kx\\&\implies |f(x)|\geq |K||x|=K|x|\geq Kx\end{align}$

Answer 2

Deje $[a, b] \subset \mathbb{R}^+$ y $f(x)=x-a$ . Luego $f'(x)=1$ , por lo tanto, $K=1$ pero $f(a)=0 < K \cdot a=a$ .