Prueba de la desigualdad $\angle A+\angle COP < 90^\circ$ en $\triangle ABC$

Question

En un ángulo agudo $\triangle ABC$ , $AP \perp BC$ y $O$ es su circuncentro. Si $\angle C \ge \angle B + 30^\circ$ entonces demuestre que $$\angle A + \angle COP < 90^\circ$$

Mi intento:

Ampliación de la línea $AP$ al punto de la circunferencia $D$ , me conecté $O,D$ y $C,D$ y obtuve dos líneas $OD$ y $CD$ como tal a continuación

Dado que, $\angle C \ge \angle B + 30^\circ$ y de ahí obtuve

$\angle C +\angle B+ \angle A \ge \angle B + \angle B +\angle A + 30^\circ \implies 180^\circ \ge 2\angle B + \angle A + 30^\circ \implies 150^\circ - \angle A \ge 2\angle B$

$2\angle B \le 150^\circ - \angle A$ .....(1)

En ángulo recto $\triangle APC, \angle APC = 90^\circ$

Así que, $\angle PAC = 90^\circ - \angle C$

Después de eso, sabemos que $\angle COD = 2\angle DAC$

$\angle COD = 2(90^\circ - \angle C) \implies 180^\circ - \angle COD = 2\angle C$

$180^\circ - \angle COD \ge 2\angle B + 60^\circ \implies 180^\circ - 60^\circ - \angle COD \ge 2\angle B$

$120^\circ - \angle COD \ge 2\angle B$ .....(2)

Obsérvese que, tanto ( $150^\circ - \angle A$ ) y ( $120^\circ - \angle COD$ ) son mayores o iguales a $2\angle B$ .

Entonces, ¿cómo podría mostrar la relación entre ( $150^\circ - \angle A$ ) y ( $120^\circ - \angle COD$ ). O, ¿alguna otra forma de probar para la desigualdad deseada? Gracias de antemano.

Answer 1

Bueno, al fin y al cabo este es un problema de geometría de la OMI de 2001 y puedes encontrar dos soluciones, junto con las soluciones de otros problemas de ese año, aquí:

https://sms.math.nus.edu.sg/Simo/IMO_Problems/01.pdf