Deje $g$ ser un automorphism. A continuación, para cada uno de los prime $p$ tenemos $1 < p$ e lo $1 < g(p)$. Si $g(p)$ no fueron prime, tendríamos algún elemento $1 < x < g(p)$ e lo $1 < g^{-1}(x) < p$ lo cual es absurdo. Por lo tanto, cada primer $p$ es enviado a otro primer $s(p)$. Ahora, pretendemos que
$$
g(p_1^{n_1} \cdots p_k^{n_k}) = s(p_1)^{n_1} \cdots s(p_k)^{n_k} \etiqueta{1}
$$
y ya que estas son, de hecho, automorfismos, esto les caracteriza. En efecto, podemos hacer la inducción en el máximo exponente de un primer descomposición de $n \in \mathbb{N}$. Si $n = 1$ o $n$ prime, ya hemos demostrado que esta. Ahora tome $n = p_1^{n_1} \cdots p_k^{n_k} \in \mathbb{N}$ y sin pérdida de generalidad, supongamos $n_1 \leq \dots \leq n_k$. Desde $ p_1^{n_1} \cdots p_k^{n_k-1} < p_1^{n_1} \cdots p_k^{n_k}$, luego
$$
s(p_1)^{n_1} \cdots s(p_k)^{(n_k-1)} = g(p_1^{n_1} \cdots p_k^{(n_k-1)}) < g(p_1^{n_1} \cdots p_k^{n_k})
$$
y por lo $g(p_1^{n_1} \cdots p_k^{n_k}) = s(p_1)^{m_1} \cdots s(p_k)^{m_k}$ con $m_i \geq n_i$. Deberíamos ver que $m_i = n_i$ para todos los $i$. Si por alguna $j$ sería $m_j > n_j$, entonces tendríamos que
$$
s(p_1)^{n_1} \cdots s(p_k)^{(n_k-1)} < s(p_1)^{n_1} \cdots s(p_k)^{n_k} < s(p_1)^{m_k} \cdots s(p_k)^{m_k}
$$
y por lo tanto la aplicación de $g^{-1}$ obtenemos que
$$
p_1^{n_1} \cdots p_k^{(n_k-1)} < g^{-1}(s(p_1)^{n_1} \cdots s(p_k)^{n_k}) < p_1^{n_1} \cdots p_k^{n_k}.
$$
lo cual es absurdo. Esto concluye la prueba de $(1)$ y así autmorphisms corresponden a bijections de $\mathbb{P}$, y a través de la enumeración, el último corresponden a bijections de $\mathbb{N}$. En otras palabras, si $p_n$ en la $n$-th primer y definimos
$$
\begin{align}
\Gamma : \operatorname{Aut}(&\mathbb{N}, |) \longrightarrow \mathbb{S}(\mathbb{P}) \longrightarrow \mathbb{S}(\mathbb{N})\\
& g \longmapsto (p \mapsto g(p)) \mapsto s_g
\end{align}
$$
con $s_g(m) = n$ fib $g(p_m) = p_n$, a continuación, $\Gamma$ es bijective.
Edit: de acuerdo a los comentarios de la pregunta se refiere a la automorfismos de la orden inducido por la división, por lo tanto lo que sigue no se aplica.
Para facilitar la notación, voy a utilizar $U = (\mathbb{N},\leq)$ por los naturales con el orden habitual y $D = (\mathbb{N},\leq')$ por los naturales con el orden dado por la división. Tenga en cuenta que cualquier función de $g : U \to D$ , el cual verifica $x \leq y \Rightarrow g(x) \leq' g(y)$ es monótona como una función de $\tilde{g}: U \to U$, debido a $x | y$ implica $x \leq y$. Por lo tanto si $g$ fueron un isomorfismo, tendríamos un bijective la monotonía de la función $\tilde{g} : U \to U$ con $g(n) = \tilde{g}(n)$. Como hemos descartado en los comentarios, como una función tenemos $g \neq id$ y así por orden de los naturales (con respecto a la orden en $U$),
$$
l := \min \{n : g(n) \neq n\}
$$
está bien definido, y por lo $g(l) \neq l$. Por surjectivity, $l = g(k)$ e lo $k \neq l$. Por minimality, ya $k \neq g(k)$ necesariamente $l < k$ e lo $g(l) < g(k) = l$. Por minimality una vez más, esto nos dice que $g(g(l)) = g(l) = g(g(k))$ y por inyectividad, conseguimos que los $g(l) = g(k) = l$, y eso es absurdo. Desde la contradicción vino desde suponiendo que tal $g$ existió, no hay isomorfismo entre $U$ e $D$ existe.
