Calcula la suma de fracciones.

Question

Deje $n \gt 1$ un entero. Calcular la suma: $$\sum_{1 \le la p \lt q \le n} \frac 1 {pq} $$ where $p, q$ are co-prime such that $p + q > n$.

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El cálculo de la suma de varias $n$ valor me enteré de que la suma siempre es $\frac 1 2$.

Ahora, estoy tratando de demostrar que la suma es $\frac 1 2$ el uso de la inducción por $n$. Supongamos que es cierto para todos los valores menores o iguales a $n$, tratando de demostrar por $n + 1$.

$$\sum_{1 \le p \lt q \le n +1,p+q>n+1} \frac 1 {pq} = \sum_{1 \le p \lt q \le n} \frac 1 {pq} + \sum_{1 \le p \lt q = n +1} \frac 1 {pq} = \sum_{1 \le p \lt q \le n} \frac 1 {pq} + \frac 1 {n+1} \sum_{1 \le p \lt n +1} \frac 1 {p} \tag1$$

En la segunda suma, $p$ e $n+1$ son coprime.

$$\sum_{1 \le p \lt q \le n,p+q>n+1} \frac 1 {pq} = \sum_{1 \le p \lt q \le n, p+ q>n} \frac 1 {pq} - \sum_{1 \le p \lt q \le n, p+ q=n+1} \frac 1 {pq} = \frac 1 2 - \sum_{1 \le p \lt q \le n, p+ q=n+1} \frac 1 {pq} \tag 2$$

A partir de (1) y (2) tengo que demostrar que $$\frac 1 {n+1} \sum_{1 \le p \lt n +1} \frac 1 {p} = \sum_{1 \le p \lt q \le n, p+ q=n+1} \frac 1 {pq} \tag3$$ donde $p,q$ son co-prime y yo estoy atrapado aquí.

Answer 1

Deja $$ s_n=\sum_{1\le p<q\le n\\(p,q)=1}\frac1{pq}-\sum_{p+q\le n\\p<q,(p,q)=1}\frac1{pq}=a_n-b_n. $$ , Entonces tenemos que $$ a_{n+1}-a_n=\sum_{1\le p<q=n+1\\(p,n+1)=1}\frac{1}p\cdot\frac1{n+1}=\frac1{n+1}\sum_{1\le p<n+1\\(p,n+1)=1}\frac1{p} $$ and $$\begin{align*} b_{n+1}-b_n&=\sum_{p+q=n+1\\p<q, (p,q)=1}\frac1{pq} \\&=\frac1{n+1}\sum_{p+q=n+1\\p<q, (p,q)=1}\frac1 p+\frac 1 q \\&=\frac1{2(n+1)}\sum_{p+q=n+1\\(p,q)=1}\frac1 p+\frac 1 q \\&=\frac1{n+1}\sum_{p+q=n+1\\(p,q)=1}\frac1 p\tag{*} \\&=\frac1{n+1}\sum_{1\le p<n+1\\(p,n+1)=1}\frac1 p\tag{**}. \end{align*}$$ $(*)$ : $\displaystyle \sum_{p+q=n+1, (p,q)=1}\frac1 p=\sum_{p+q=n+1, (p,q)=1}\frac1 q$ por la simetría.
$(**)$ : $(p,q)=(p,p+q)=(p,n+1)=1$ por el algoritmo de Euclides.

Esto le da a $s_{n+1}-s_n = (a_{n+1}-a_n)-(b_{n+1}-b_n)=0$, por lo tanto $s_n =s_2=\frac 12$ para todos los $n\ge 2$.

Answer 2

Si $p+q=n+1$ y $(p,n+1)=1$ , entonces se deduce del algoritmo euclidiano que $(p,q)=1$ . Ahora, tenemos que demostrar: $$\frac{1}{n+1} \cdot \sum_{1 \leqslant p<n+1}{\frac{1}{p}}=\sum_{1 \leqslant p<n+1}{\frac{1}{pq}}=\frac{1}{2}\sum{\frac{1}{p(n+1-p)}}$ $

Esto se puede ver fácilmente escribiendo: $$\frac{1}{p(n+1-p)}=\frac{1}{n+1}\bigg(\frac{1}{p}+\frac{1}{(n+1-p)}\bigg)$ $