Deje que$x$ sea un entero positivo y$y$ a primo tal que$x \lt y$. Probar que el$\operatorname {gcd}(x!,y)=1$.

Question

Deje $x$ ser un entero positivo y $y$ un primo tal que $x \lt y$. Demostrar que $\operatorname{gcd}(x!,y)=1$.

Teniendo un momento difícil responder a esta pregunta, cada prueba que se me ocurren no me deja satisfecho, tiene un infalible prueba plena. De todos modos, voy a empezar con lo que tengo ahora.

Deje $x$ ser un entero positivo tal que $x > 1$. Deje $y$ ser un primo tal que $y > x$.

A continuación, $x$ es ya sea principal o no principal. En caso de que prime, claramente $gcd(x,y)=1$. Desde $x! = x*(x-1)...1$ e $ x \ge (x-1) \ge (x-2) ... \ge 1$. Para cada factor de la factorial es menor que $y$ y no tiene factor común con él (por $y$ es primo). Por lo tanto, $x!$ no tiene divisores comunes con $y$ además 1, del que se infiere $gcd(x!,y)=1$.

Asumiendo $x$ no prime. Por el Teorema Fundamental de la Aritmética, $x$ se puede escribir como un producto de números primos $\mathrm{p_1}^{a_1}$ $\mathrm{p_2}^{a_2}$...$\mathrm{p_n}^{a_n}$. Sabemos que cualquier $\mathrm{p_i}^{a_i} \le y$ por lo tanto no tener factores comunes con $y$ annd $gcd(x,y)=1$. Esto se ha afirmado, por razonamiento similar al anterior se desprende $gcd(x!,y)=1$

Definitivamente no estoy satisfecho con esto porque la verdad no siento que la fuerte conexión entre las premisas y la conclusión. Habiendo dicho esto, yo también soy un principiante y he envuelto en mi cabeza durante un tiempo y se siente un poco perdido en todo. Con mucho gusto buscando ayuda en esto. Gracias!

Answer 1

Si $y$ es primo y $y|x!$ , entonces $y$ divide algún factor en el producto $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots (x-1) \cdot x$ , lo que no puede suceder porque $y \gt x \Rightarrow y$ es mayor que cada uno de ellos. Factores

Answer 2

La manera más rápida de hacer esto es:

$y$ es primo. Sus únicos factores son $1$ e $y$. Por lo $\gcd(n,y) = 1$ o $y$ (e $\gcd(n,y) = y \iff y|n$). Por Euclides del lexema, si $\gcd(x!,y) = y$ e $y$ es primo, a continuación, $y|k$ para algunos $k \le x < y$. Pero eso es imposible como $k < y$. Por lo $\gcd(x!, y) =1$.

Pero, probablemente, el más útil y de beneficio futuro es demostrar el siguiente lema:

Lema: si $\gcd(a,n) = 1$ e $\gcd(b,n) = 1$ entonces $\gcd(ab, n) = 1$.

Pf: Para cualquier prime $p|ab$ bien $p|a$ o $p|b$ pero como $\gcd(a,n) =1$ e $\gcd(b,n) =1$ que no pueden tener los $p|n$. Por lo $ab$ e $n$ no tienen factores primos comunes y por lo tanto son relativamente primos.

(... o esto es una consecuencia de $\gcd(ab,n) = \text{lcm}(\gcd(a,n),\gcd(b,n))$ ... que es lo suficientemente sencillo pero no tan trivial para probar...)

Corrollary. Por inducción si $\gcd(a_i,n) = 1$ entonces $\gcd(\prod a_i, n) = 1$.

Corrollary. Si $p$ es primo, a continuación, $\gcd(a,p) = 1$ para todos los $a < p$ así que para cualquier $k < p$ entonces $\gcd(k!, p) =1$.