La proposición
$f(x) = 1/x$ es de $L^2\left([1, +\infty)\right)$ pero no en $L^1\left([1, +\infty)\right)$.
Discusión
Así que mi problema es que no sé cómo utilizar el infinito en la integración de Lebesgue.
Es intuitivo (creo) que la evaluación de la indebida de las integrales de Riemann
\begin{align} \int_1^\infty \left|f(x)\right| &= \int_1^\infty \frac{1}{x} = \lim_{c \to \infty} \ln c = + \infty \\ \\ \int_1^\infty \left|f(x)\right|^2 &= \int_1^\infty \frac{1}{x^2} = 1 - \lim_{c \to \infty} \frac{1}{c} = 1 \end{align}
implicaría nuestra propuesta, pero yo sólo he visto a $L^p$-los espacios definidos en el sentido de Lebesgue integrales. Así que cuando llegue a estos pasos:
\begin{align} \int_{[1, \infty)} \left|f(x)\right| &= \int_{[1, \infty)} \frac{1}{x} = \cdots \\ \\ \int_{[1, \infty)} \left|f(x)\right|^2 &= \int_{[1, \infty)} \frac{1}{x^2} = \cdots \end{align}
No estoy seguro de cómo proceder. Supongo que necesitamos un argumento para cambiar entre los dos tipos de integración, que he leído un poco, pero no estoy seguro de cómo se aplican aquí en la inadecuada caso.
