¿Qué es notación "Sujetador" y "Ket" y cómo se relaciona con espacios de Hilbert?

Question

Este es mi primer semestre de la mecánica cuántica y la matemática superior y estoy completamente perdido. He tratado de encontrar ayuda en mi universidad, navegar preguntas similares en este sitio, miró a mi libro de texto (Griffiths) y leído infinidad de archivos pdf en la web, pero por alguna razón me acaba de llegar.

Puede alguien que me explique, en los términos más sencillos posibles, lo que el "Sostén" y "Ket" (Dirac) de la notación es, por qué es tan importante en la mecánica cuántica y cómo se relaciona con los espacios de Hilbert? Estaría infinitamente agradecido por una explicación que realmente me ayude a entender esto.

Edit 1: quiero agradecer a todos por el increíble respuestas que he recibido hasta el momento. Por desgracia, yo aún estoy en el camino y no puede leer correctamente algunas de las respuestas en mi teléfono. Cuando llegue a casa voy a leer y responder a todas las respuestas y aceptar una respuesta.

Edit 2: acabo de llegar a casa y tuve la oportunidad de leer y re-leer todas las respuestas. Quiero agradecer a todos de nuevo por la gran ayuda durante los últimos días. Todas las respuestas eran muy grandes. Sin embargo, la combinación de todas las respuestas, es lo que realmente me ayudó a entender bra-ket de notación. Por eso no puedo realmente único y aceptar una "mejor respuesta". Desde que tengo para aceptar una respuesta, voy a utilizar un generador de números aleatorios y aceptar una respuesta al azar. Para cualquiera de regresar a esta pregunta en un momento posterior: por Favor, leer todas las respuestas! Todos ellos son increíbles.

Answer 1

En corto, tfe son vectores en el espacio de Hilbert, mientras que las bras son lineales funcionales de las tfe para el plano complejo

$$\left|\psi\right>\in \mathcal{H}$$

\begin{split} \left<\phi\right|:\mathcal{H} &\to \mathbb{C}\\ \left|\psi\right> &\mapsto \left<\phi\middle|\psi\right> \end{split}

Debido a la Riesz-Frechet teorema, una correspondencia que se pueden establecer entre $\mathcal{H}$ y el espacio de lineal funcionales donde las bras vivir, por eso tal vez un poco ambigua la notación.

Si quieres un poco de explicación más detallada, consulte la página 39 a partir de Galindo & Pascual: http://www.springer.com/fr/book/9783642838569.

Answer 2

En primer lugar, el $bra$c$ket$ notación es simplemente una conveniencia inventado, para simplificar, y abstractify la manipulación matemática que se realiza en la mecánica cuántica. Es más fácil comenzar a explicar el resumen de vectores que llamamos el "cy". El ket-vector $|\psi\rangle $ es un resumen de vector, que tiene un cierto "tamaño" o "dimensión", pero sin especificar a qué sistema de coordenadas en el que estamos (es decir, la base), todo lo que sabemos es que el vector $\psi$ existe. Una vez que queremos escribir las componentes de $\psi,$ podemos especificar una base y ver la proyección de $\psi$ en cada uno de los vectores de la base. En otras palabras, si $|\psi\rangle$ es un vector en 3D, se puede representar en el estándar $\{e_1,e_2,e_3\}$ $\psi = \langle e_1|\psi\rangle |e_1\rangle + \langle e_2|\psi\rangle|e_2\rangle + \langle e_3|\psi\rangle|e_3\rangle,$ donde se observa que el $\langle e_i|\psi\rangle$ es simplemente el coeficiente de la proyección en el $|e_i\rangle$ dirección.

Si $|\psi\rangle $ vive en una función de espacio (un espacio de Hilbert es el tipo de función de espacio utilizado en QM - porque necesitamos la noción de un interno del producto y de la integridad), entonces uno podría abstracta medir el coeficiente de $\psi$ en cualquier punto dado por salpican $\langle x | \psi \rangle = \psi(x)$, el tratamiento de cada punto de $x$ como su propio coordinar o su propia base de vectores en el espacio. Pero lo que si no utilizamos la posición de base? Decir que queremos el ímpetu de la frecuencia de la transformada de fourier de la base de la representación? Simple, tenemos un resumen ket vector, ¿cómo podemos determinar su representación en una nueva base? $\langle p | \psi \rangle = \hat{\psi}(p)$ donde $\hat{\psi}$ es la transformada de fourier de $\psi(x)$ $|p\rangle$ son los vectores de la base de fourier-espacio. Así que espero que esto da una buena idea de lo que es un ket-vector - sólo un resumen de vectores de espera para ser representado en alguna base.

El "sostén" vector... no es el más intuitivo concepto en primer lugar, asumiendo que no tienen mucho fondo en el análisis funcional. Matemáticamente, las respuestas anteriores sobre cómo el bra-vector es un funcional lineal que vive en el doble espacio de hilbert... todo un galimatías para la mayoría de la gente que acaba de empezar a aprender el material. El finito dimensionales caso es el lugar más fácil para empezar. Ket vectores son verticales $n\times 1$ matrices, donde $n$ es la dimensión del espacio. Sujetador de los vectores de $1 \times n$ horizontal de las matrices. Nos "identificamos" el ket vector $|a\rangle = (1,2,3)^T$ con el sostén de vectores $\langle a| = (1,2,3),$ a pesar de que no son, estrictamente hablando, "el mismo vector," uno no corresponden a los otros de una manera obvia. Entonces, si definimos $\langle a | a \rangle \equiv a \cdot a \in \mathbb{R}$ en el finito dimensionales caso, vemos que $\langle a |$ actúa sobre el ket vector $|a\rangle$ a producir un verdadero (complejo). Esto es exactamente lo que nosotros llamamos un "lineal funcional". Así vemos que tal vez sería razonable para definir un nuevo espacio de estos horizontal vectores (llamada doble espacio), teniendo en cuenta que cada uno de estos vectores en el espacio dual tiene la propiedad de que cuando se actúa en un ket vector, se produce un real (complejo) número a través del producto escalar.

Por último, nos quedamos con el infinito dimensional caso. Ahora tenemos la motivación para definir el espacio de todos los bra-vectores $\langle \psi |$ como el espacio de todas las funciones tales que cuando le das a otra función como entrada, se produce una verdadera (complejo). Hay muchos bellos teoremas por Riesz y otros que establecen la existencia y unicidad de este espacio de elementos y su representación en un espacio de Hilbert, pero la anterior discusión, la intuitiva cosa a hacer es decir que bra $\langle \phi |$ va a ser muy vagamente definido como la función de $\phi^*$, y que cuando le das a la función de entrada de $\psi(x),$ el símbolo significa $\langle \phi | \psi\rangle = \int \phi^*\psi \; dx \in \mathbb{R},$ por lo tanto $\phi$ es en el doble espacio, y actúa en un ket-vector en el espacio de Hilbert para producir un número real. Si algo necesita aclaración, sólo pregunte. Es una pena la notación para el maestro, ya sea matemático o físico.

Answer 3

Me gustaría extender Alex respuesta, así como responder a su pregunta en los comentarios: "Es el "sostén" básicamente algo así como el producto escalar?"

Si usted tiene un espacio vectorial $V$ sobre un campo $F$, que es, por ahora, finito dimensional, puede crear otro espacio vectorial, $V^*$, llamado el espacio dual de $V$, que se compone de funcionales lineales definidos en $V$. Lineal funcionales son esencialmente escalar con valores lineales de mapas.

Por lo $$ V^*=\{\omega:V\rightarrow F\ |\ \omega \text{ is linear}\}. $$

Como resulta que, si $V$ $n$- dimensional, por lo que es $V^*$, sin embargo, realmente no se puede decir nada más que eso. PERO, si $V$ es real, y tiene un producto escalar, entonces, $V$ $V^*$ son canónicamente isomorfo, en el sentido de que si usted tiene un producto escalar $\langle y,x\rangle$, entonces existe un único $\omega_y\in V^*$ funcional lineal tal que $$ \omega_y(x)=\langle y,x\rangle ,$$ and if you have a linear functional $\omega$, then there exists a unique $y_\omega\en V$ vector such that $$ \langle y_\omega,x\rangle=\omega(x). $$ En estos casos, se puede identificar lineal funcionales con vectores y viceversa, y usted puede tomar un escalar producto de la acción de un funcional lineal en el vector y viceversa.

Lo he dicho anteriormente no es cierto para infinitas dimensiones espacios vectoriales en general, sin embargo, es cierto para Hilbert espacios, como el tiempo que usted considere lineal continua y funcionales (en un número finito de dimensiones del espacio, todos lineal cosas son continuos).

Se nota que el anterior también es cierto para los complejos espacios vectoriales con la advertencia de que, dado que el producto escalar es sesquilinear, en lugar de bilineal, la correspondencia entre el espacio vectorial y su dual no es un isomorfismo, pero un conjugado-lineal bijection.

Con esto en mente, en QM, un vector escrito como $|\psi\rangle$ es un elemento de un espacio de Hilbert $\mathcal{H}$, un "sostén", escrito como $\langle\psi|$ es un elemento de la continua duales espacio de $\mathcal{H}$, el "bra-ket" escrito como $\langle\psi|\chi\rangle$ es tanto la acción de la $\langle\psi|$ $|\chi\rangle$ y el producto escalar de a $|\psi\rangle$ $|\chi\rangle$ , donde se entiende que $\langle\psi|$ es el de "doble pareja" de $|\psi\rangle$ a través de este conjugado lineal bijection entre el$\mathcal{H}$$\mathcal{H}^*$.

Answer 4

Yo no me preocuparía demasiado en primer lugar acerca de la distinción entre "bueno" y "ket". Lo que es importante es que usted tiene un producto interior $\langle x | y \rangle$ que es lineal en la segunda coordenada y del conjugado lineal en la primera, frente a la del Matemático producto interior $(x,y)$ que es lineal en la primera coordenada y del conjugado lineal en la segunda. En lugar de lidiar con los vectores $x$$y$, los Físicos tratan con objetos de $\langle x |$$| y\rangle$, lo que les permite pensar de $x$ $y$ como ser fundamentalmente diferentes en sus funciones en el interior del producto. Para los Matemáticos, x e y son el mismo.

Bien antes de Dirac del trabajo, se ha conocido que la única lineal continua funcionales en un espacio de Hilbert tiene la forma $F(x)=(x,y)$ para $y$; este es uno de los varios teoremas conocidos como la Representación de Riesz Teorema. Los matemáticos estaban llegando a comprender la importancia de separar el espacio de la doble lineal funcionales a causa de lo que sucede en los espacios de infinitas dimensiones. Dirac era consciente de este trabajo anterior, y probablemente fue motivada por este concepto para separar el dual de un espacio de Hilbert desde el espacio. Dirac poner vectores en el derecho del interior del producto, aparentemente, de manera que la notación tradicional de los operadores que actúan sobre vectores sería la misma: $$ Ax \mbox{ vs }|x\rangle $$ Y él pensaba de los objetos a la izquierda del producto interior como funcionales en lugar de vectores. En principio, uno puede definir el interior del producto en términos de los vectores y de doble objetos, equipado con algunos conjugado lineal mapa de $* : |x\rangle \rightarrow \langle x |$. Esta es otra manera de definir un producto interior espacio, y Dirac preferido esto a través comenzando con los Matemáticos interior del producto. Las decisiones tomadas por Dirac en la formulación del producto interior dejó con un formulario de $\langle y | x \rangle$ que es lineal en la segunda coordenada y del conjugado lineal en la primera. En algunos aspectos es mejor y en algunos aspectos es peor. Dirac convenios definitivamente hacer un mejor trabajo de distinguir entre un espacio y su doble. Pero la notación es difícil cuando se trata de distinguir entre un operador lineal sobre vectores y un operador lineal por lineal funcionales debido a la notación $\langle x|A|y\rangle$ es ambigua; por lo que acabar con los molestos notación para arreglar eso, como $\langle x|A\} y\rangle $ o $\langle x|\{ A|y\rangle$. Irónicamente, para hacer un buen trabajo de separar el espacio dual del espacio, hay una gran confusión acerca de los operadores y de doble operadores. La notación es agradable sólo cuando se trata en realidad de selfadjoint operadores, no sólo simétrica.

Answer 5

Lo que me ayudó a entender que es la noción de bra y ket como vectores en el espacio de Hilbert. ket $|f\rangle$ denota una "costumbre" vector, bra $\langle x|$ "transpuesta" que puede ser utilizado para la proyección. Así

$$\langle x | f \rangle = f(x)$$

es simplemente la proyección de $f$ en su (coordenadas) de la representación de la $x$. Esto se hace más claro cuando te vea

$$1 = \int dx\, | x \rangle \langle x |$$

(o una suma si estás proyectando sobre algo discretos, tales como la energía niveaus), es decir,

$$ | f \rangle = 1 | f \rangle = \int\,dx |x\rangle \underbrace{\langle x|f\rangle}_{=f(x)} = \int f(x) |x\rangle\, dx.$$

Basta comparar esta a la base habitual $\{\vec e_i\}_i$ en la representación de un vector $\vec a$:

$$\vec a = \sum_i a_i \vec e_i \quad\text{where}\quad a_i = \vec e_i^t \vec a$$

Lo que también me ayudó mucho fue, finalmente, la comprensión de dónde esos extraños nombres provienen de: $\langle x | \hat X | y \rangle$ es un "soporte", compuesto de "sostén" $\langle x|$, "c" $\hat X$ e "ket" $|y\rangle$, donde el sombrero indica que $\hat X$ es en realidad un operador lineal y el soporte es el elemento de $\hat X$'s "matriz" de la representación en coordenadas de la base en este caso. Esto ayuda a comprender el significado de la linealidad de los operadores mediante la inserción de hoy, una vez más:

$$\hat X = 1\hat X1 = \iint dx\,dy\, |x\rangle \underbrace{\langle x|\hat X|y\rangle}_{=X(x,y)} \langle y|$$

Aplicando el operador $\hat X$ ahora es análoga a la multiplicación de la matriz como en

$$A = \sum_{i,j}\vec e_i A_{ij} \vec e_j^t \quad\text{thus}\quad \vec a^t A\vec b = \sum_{i,j,k,l} a_i \underbrace{\vec e_i^t\vec e_k}_{=\delta_{ik}} A_{kl} \underbrace{\vec e_l^t \vec e_j}_{=\delta_{lj}} b_j = \sum_{i,j}a_iA_{ij}b_j$$

y de forma análoga

$$\langle x | \hat X | y \rangle = \iint dx\,dy\, X(x,y)$$

desde $\langle x|y \rangle = \delta(x-y)$ (o tal vez algunos de $\sqrt{2\pi}$ en aquí, sucede en la Física dependiendo de su elección de la transformada de Fourier...).