4 esferas todas tocándose unas a otras ??

Question

Si hay 4 esferas que se tocan entre sí y 3 de ellas tienen diámetros 4, 6 y 12, ¿cuál es el diámetro de la cuarta? Me imagino que son 3 bolas en una mesa plana que se tocan entre sí y luego se supone que debemos poner otra encima de ellas, pero en mi imaginación, la esfera superior podría ser de cualquier tamaño, ¿no?

Answer 1

No de cualquier tamaño. Si la cuarta esfera es lo suficientemente pequeña, puede encajar en el agujero en el medio, también apoyada en la mesa, sin tocar ninguna de las otras tres esferas.

Supongo que este problema es pedir el diámetro mínimo de la cuarta esfera que garantiza el contacto con las otras tres.

Answer 2

Solo complementando la respuesta que acabo de publicar. Si la nueva esfera es lo suficientemente pequeña, encajará en el agujero en el medio, por lo que tenemos un límite inferior para el tamaño de la nueva esfera. De manera similar, si la nueva esfera es lo suficientemente grande, también podría hacer que una de las dimensiones de las esferas anteriores sea "suficientemente pequeña", por lo que podría haber un límite superior.

Answer 3

Sugerencia

La palabra cirsphe podría referirse a un círculo, una esfera de un hypersphere.

De Descartes Teorema de $n\geq 2$ dimensiones nos dice que necesitamos $n+1$ cirsphes con el fin de ser capaz de determinar el radio de la $n+2$th cirsphe...

Ahora, ¿cómo hacer eso?

Definir la curvatura $k_d$ de la $d$th cirsphe con radio de $r_d$ como $$k_d=\pm\frac{1}{r_d}$$ (ya sean más o menos dependes de si el cirsphe externa o interna de la tangente)

De Descartes Teorema de las dimensiones superiores nos dice ahora que

$$\bigg(\sum _{d=0}^{n+2}k_d\bigg)^2=2·\sum_{d=0}^{n+2}k_d^2$$

Y sabiendo $k_1, k_2,...,k_{n+1}$ puede determinar la curvatura de la $n+2$th cirsphe y por lo tanto su radio.

Incluso hay un poema sobre esta fórmula!

Answer 4

Si la tabla es obligatoria, entonces una cuarta esfera lo suficientemente grande podría evitar que la mesa toque la otra esfera más pequeña. Y si no se descarta la gravedad, una grande podría caerse de su posición. :-)

Answer 5

Imagina que las tres bolas se tocan. El cuarto debe caber exactamente en el medio de estas tres bolas. Sólo entonces cada bola toca cada otra bola. (Por supuesto, la suposición aquí es que todo está en 2D ).

Si decimos que se permiten espacios dentro de otras esferas o que son más que esferas 2D, entonces también hay muchas otras posibilidades ...