Ejemplo de una función * asociativa *$\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ que es continua en ambas variables pero no es continua

Question

Un ejemplo clásico de una función de dos variables continuas en cada uno, pero que, al no ser continua es este uno. Me pregunto si alguien puede sugerir un ejemplo de un asociativa contraejemplo de una operación binaria continua en cada una de las variables que, al no ser continua (no tiene que ser en $\mathbb{R}$ pero espero que eso sea el ajuste más sencillo para la analítica de ejemplos).

Contexto: actualmente estoy trabajando con topológico monoids, y han encontrado (fija de la multiplicación) un canónica de la topología relativa a una acción de la monoid que garantiza que la multiplicación es continua en cada variable. Yo, por supuesto, como la topología para que sea totalmente continuo, pero a priori no está claro que esto tiene.

Answer 1

Algo muy natural, ejemplo de ello es, además de con $\infty$. Deje $X=\mathbb{R}\cup\{\infty\}$, topologized como el punto de compactification de $\mathbb{R}$ (de manera más general, podríamos sustituir $\mathbb{R}$ con cualquier localmente compacto grupo que no es compacto). Considerar la adición de operación $+:X\times X\to X$, donde cualquier suma que implican $\infty$ se define a ser $\infty$. Entonces es fácil ver que $+$ es continua por separado en cada una de las variables, y es asociativa. Pero no conjuntamente continua; por ejemplo, como $x\to\infty$, $(x,-x)\to(\infty,\infty)$, pero $x+(-x)=0$ no converge a $\infty+\infty=\infty$.