Definición de fluido incompresible

Question

En un curso de mecánica de fluidos encontré que un flujo de fluidos incompresible significa literalmente:

$$ \rho = \text {constant} \quad \forall \vec r,\, \forall t$$ Donde $ \vec r = (x, y, z)$

A mi entender, esto significa literalmente que la densidad del fluido es uniforme? (¿Estoy equivocado?)

Por otro lado, también podemos encontrar que un fluido incompresible significa:

$$ \dfrac {D \rho }{Dt} = 0$$ lo que no significa necesariamente que la densidad del fluido sea uniforme.

¿Qué pasa aquí?

Answer 1

La definición de incompresible suele ser poco clara y cambia según la comunidad que la utilice. Así que veamos algunas definiciones comunes:

Densidad constante

Esto significa que la densidad es constante en todo el espacio y el tiempo. Por lo tanto: $$ \frac{D\rho}{Dt} = \frac{\partial \rho}{\partial t} + \vec{u}\cdot\nabla{\rho} = 0 $$ Como la densidad es constante en todo el espacio y el tiempo, la derivada temporal es cero y el gradiente espacial es cero.

Número de Mach bajo

Esto aparece cuando la velocidad del flujo es relativamente baja y, por tanto, todos los cambios de presión son hidrodinámicos (debidos al movimiento de la velocidad) y no termodinámicos. El efecto de esto es que $\partial \rho / \partial p = 0$ . En otras palabras, los pequeños cambios de presión debidos a los cambios de velocidad del flujo no modifican la densidad. Esto tiene un efecto secundario: la velocidad del sonido en el fluido es $\partial p/\partial \rho = \infty$ en este caso. Así que hay una velocidad infinita del sonido, lo que hace que las ecuaciones sean de naturaleza elíptica.

Aunque asumimos que la densidad es independiente de la presión, es posible que la densidad cambie debido a cambios en la temperatura o la composición si el flujo está reaccionando químicamente. Es decir:

$$ \frac{D\rho}{Dt} \neq 0 $$ porque $\rho$ es una función de la temperatura y la composición. Sin embargo, si el flujo no es reactivo o multicomponente, también se obtendrá la misma ecuación que en el caso de densidad constante:

$$ \frac{D\rho}{Dt} = 0 $$

Por lo tanto, incompresible puede significar densidad constante, o puede significar un número de Mach bajo, dependiendo de la comunidad y de la aplicación. Yo prefiero ser explícito en la diferencia porque trabajo en el mundo del flujo reactivo, donde es importante. Sin embargo, muchos miembros de la comunidad de flujos no reactivos utilizan el término incompresible para referirse a la densidad constante.

Ejemplo de densidad no constante

Como se pidió un ejemplo en el que la derivada de la materia es cero pero la densidad no es constante, aquí va:

$$ \frac{D\rho}{Dt} = \frac{\partial \rho}{\partial t} + \vec{u}\cdot\nabla \rho = 0 $$

Reacomoda esto:

$$ \frac{\partial \rho}{\partial t} = -\vec{u}\cdot\nabla\rho $$

da un flujo en el que $\rho \neq \text{const.}$ Sin embargo, $D\rho/Dt = 0$ . Tiene que ser un flujo inestable.

¿Hay algún otro ejemplo de flujo constante? En el flujo constante, la derivada del tiempo es cero, por lo que tienes:

$$ \vec{u}\cdot\nabla\rho = 0 $$

Si la velocidad no es cero, $\vec{u} \neq 0$ entonces tenemos $\nabla \rho = 0$ por lo que cualquier flujo en movimiento y constante sin fuerzas corporales (gravedad) o diferencias de temperatura/composición debe tener una densidad constante.

Si la velocidad es cero, se puede tener un gradiente de densidad sin ningún problema. Piensa en una columna de la atmósfera, por ejemplo: la densidad es mayor en la parte inferior que en la superior debido a la gravedad, y no hay velocidad. Así que de nuevo, $D\rho/Dt = 0$ pero la densidad no es constante en todas partes. El reto aquí, por supuesto, es que la ecuación de continuidad no es suficiente para describir la situación, ya que se convierte en $0 = 0$ . Habría que incluir la ecuación del momento para incorporar las fuerzas de la gravedad.

Answer 2

La definición general de un flujo incompresible es $\frac{D\rho }{Dt}=0$ La densidad de una partícula de fluido no cambia a lo largo de su trayectoria.

Por ejemplo, si $\overrightarrow{v}=v(x)\overrightarrow{{{e}_{x}}}$ y $\rho =\rho (y)$ Las líneas de trayectoria son líneas horizontales y en ellas la densidad no cambia.

La condición $\rho =cst$ es un caso particular ("fluido incompresible" en lugar de "flujo incompresible").

Pero con frecuencia, un medio $\rho =cst$ cuando se habla de un fluido incompresible

Perdón por mi pobre inglés.

Answer 3

En resumen

$\rho = constant$ se denomina fluido incompresible . Es una propiedad del propio fluido: El ecuación de estado permite la densidad que se debe suponer aproximadamente constante independientemente del flujo preciso . En general, se trata de una propiedad de los líquidos y es especialmente útil en la hidrostática.

En un fluido en movimiento, la presión estática y la energía cinética se pueden convertir, tal y como establece, por ejemplo, la ley de Bernoulli. A derivada lagrangiana evanescente $\frac{D \rho}{D t} = 0$ en este contexto se denomina flujo incompresible y es una propiedad del flujo particular. Permite las fluctuaciones de densidad, pero a lo largo de cualquier línea de corriente particular una parcela de fluido no puede ser comprimida.

Si el número de Mach de un flujo es pequeño $Ma \lesssim 0.3$ y además la densidad no se ve modificada por los cambios de temperatura y la descomposición química la ecuación de estado de un gas perfecto sólo conduce a pequeñas fluctuaciones de densidad debido a los cambios de presión. Por lo tanto, sólo para pequeños cambios de temperatura se acerca asintóticamente a el comportamiento de un fluido incompresible . Esto se denomina aproximación de bajo número de Mach .

A menudo, la gente no distingue entre los tres, ya que los resultados son similares: El el tensor de tensión se simplifica y para un fluido incompresible el la ecuación de la energía se desacopla de la ecuación del momento también. No obstante, el aire no es un fluido incompresible, pero puede comportarse como tal en los límites de los flujos incompresibles, por ejemplo, para números de Mach bajos.

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Intentaré dar una explicación más detallada.

La mayoría de los libros de dinámica de fluidos introducen el concepto de incompresibilidad al principio, a menudo incluso antes de derivar las ecuaciones de Navier-Stokes. Yo empezaré al revés, con las ecuaciones de conservación completas, y explicaré paso a paso por qué puede ser útil cada una de estas simplificaciones.

Las ecuaciones de conservación completas

Las ecuaciones fundamentales de la dinámica de fluidos compresibles describen la conservación de la masa \eqref {1}, impulso \eqref {2} y energía \eqref {3} en un nivel de continuidad.

$$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \sum\limits_{j \in \mathcal{D}} \frac{\partial (\rho u_j )}{\partial x_j }=0 \tag{1}\label{1}$$

$$\frac{\partial (\rho u_i )}{\partial t} + \sum\limits_{j \in \mathcal{D}}\frac{\partial (\rho u_i u_j )}{\partial x_j} = \sum\limits_{j \in \mathcal{D}} \frac{\partial \sigma_{ij}}{\partial x_j } + \rho g_i \tag{2}\label{2}$$

$$\frac{\partial (\rho e)}{\partial t} + \sum\limits_{j \in \mathcal{D}} \frac{\partial (\rho u_j e)}{\partial x_j} = - \sum\limits_{j \in \mathcal{D}} \frac{\partial q_j}{\partial x_j} + \sum\limits_{i, j \in \mathcal{D}} \frac{\partial (\sigma _{ij} u_i)}{\partial x_j} + \sum\limits_{j \in \mathcal{D}} \rho u_j g_j \tag{3}\label{3}$$

El energía total viene dada por la combinación de los $e_{in}$ y la energía macroscópica $e := e_{in} + \sum\limits_{j \in \mathcal{D}} \frac{u_j u_j}{2}$ mientras que el local flujo de calor $q_i$ según Ley de Fourier se supone que es proporcional al gradiente de la temperatura

$$q_i = - k \frac{\partial T}{\partial x_i}. \tag{4}\label{4}$$

y el tensor de esfuerzos para un fluido newtoniano isotrópico (derivación aquí) viene dada por

$$\sigma_{ij} = - p \delta_{ij} + \underbrace{ 2 \mu S_{ij} - \frac{2}{3} \mu \sum\limits_{k \in \mathcal{D}} S_{kk} \delta_{ij} }_{\tau_{ij}} \tag{5}\label{5}$$

con el tasa del tensor de deformación

$$S_{ij} := \frac{1}{2} \left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right). $$

Cuando además se suministra un ecuación de estado que relaciona presión, densidad y temperatura este sistema de ecuaciones diferenciales acopladas es cerrado.

Simplificaciones

Las ecuaciones generales de conservación son demasiado complejas para extraer de ellas cualquier información de forma analítica. Tendremos que introducir principales simplificaciones . Lo primero que podríamos intentar hacer es derivar un sistema de ecuaciones con coeficientes constantes . La ventaja de los coeficientes constantes es la ley de la similitud : Un sistema con el mismo coeficiente adimensional en las ecuaciones diferenciales que describen su comportamiento con el mismo tipo de condiciones de contorno y geometría debe tener la misma solución. Esta idea nos permite reescalar los parámetros de manera que los parámetros adimensionales de interés, que aparecen en las ecuaciones diferenciales correspondientes, no se modifiquen y realizar experimentos con modelos que nos permitan sacar conclusiones sobre sistemas de diferentes dimensiones.

Forma no conservadora

Comenzaremos recombinando las ecuaciones de conservación para derivar su forma no conservativa, lo cual es conveniente ya que nos permite ver qué términos no son constantes.

Apliquemos la regla de la cadena a la ecuación \eqref {2} y luego restar \eqref {1}

$$\frac{\partial u_i}{\partial t} + \sum\limits_{j \in \mathcal{D}} u_j \frac{\partial u_i}{\partial x_j} = - \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial x_i } + \frac{1}{\rho} \sum\limits_{j \in \mathcal{D}} \frac{\partial \tau_{ij}}{\partial x_j } + g_i. \tag{6}\label{6}$$ Aplicando la regla de la cadena a \eqref {3} y restando la ecuación \eqref {1} obtenemos la llamada forma no conservativa de las ecuaciones de conservación que sigue siendo válida para todos los fluidos newtonianos

$$\frac{\partial e}{\partial t} + \sum\limits_{j \in \mathcal{D}} u_j \frac{\partial e}{\partial x_j} = - \frac{1}{\rho} \sum\limits_{j \in \mathcal{D}} \frac{\partial q_j}{\partial x_j} + \frac{1}{\rho} \sum\limits_{i, j \in \mathcal{D}} \frac{\partial (\sigma _{ij} u_i)}{\partial x_j} + \sum\limits_{j \in \mathcal{D}} u_j g_j. \tag{7}\label{7}$$

Ahora restamos el producto punto de \eqref {6} y la velocidad $u_i$ y aplicar la regla de la cadena para obtener el energía mecánica

$$\frac{1}{2} \sum\limits_{i \in \mathcal{D}} \frac{\partial (u_i u_i)}{\partial t} + \frac{1}{2} \sum\limits_{i, j \in \mathcal{D}} u_j \frac{\partial (u_i u_i )}{\partial x_j} = - \frac{1}{\rho} \sum\limits_{i \in \mathcal{D}} u_i \frac{\partial p}{ \partial x_i } + \frac{1}{\rho} \sum\limits_{i \in \mathcal{D}} u_i \frac{\partial \tau_{ij}}{\partial x_j } + \sum\limits_{i \in \mathcal{D}} u_i g_i \tag{8}\label{8}$$

Aplicando de nuevo la regla de la cadena a \eqref {7} y restando \eqref {8}, la expresión

$$\frac{D e_{in}}{D t} = \frac{\partial e_{in}}{\partial t} + \sum\limits_{j \in \mathcal{D}} u_j \frac{\partial e_{in}}{\partial x_j}= - \frac{1}{\rho} \sum\limits_{j \in \mathcal{D}} \frac{\partial q_j}{\partial x_j} - \frac{p}{\rho} \sum\limits_{j \in \mathcal{D}} \frac{\partial u_j}{\partial x_j} + \frac{1}{\rho} \sum\limits_{i, j \in \mathcal{D}} \tau _{ij} \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \tag{9}\label{9}$$

para el energía térmica se puede encontrar.

Para simplificar aún más las cosas, introduciremos la entalpía específica $h := e_i + \frac{p}{\rho}$

$$\frac{D h}{D t} = \frac{D e_{in}}{D t} + \frac{1}{\rho} \frac{D p}{D t} - \frac{p}{\rho^2} \underbrace{ \frac{D \rho}{D t} }_{\frac{\partial \rho}{\partial t} + \sum\limits_{j \in \mathcal{D}} u_j \frac{\partial \rho}{\partial x_j}} = \frac{D e_{in}}{D t} + \frac{1}{\rho} \frac{D p}{D t} + \frac{p }{\rho} \sum\limits_{j \in \mathcal{D}} \frac{\partial u_j}{\partial x_j} \tag{10}\label{10}$$

donde utilicé la ecuación \eqref {1} para simplificar el último término. Finalmente combinando \eqref {9} y \eqref {10} terminamos con

$$\frac{\partial h}{\partial t} + \sum\limits_{j \in \mathcal{D}} u_j \frac{\partial h}{\partial x_j} = \frac{1}{\rho} \left( \frac{\partial p}{\partial t} + \sum\limits_{j \in \mathcal{D}} u_j \frac{\partial p}{\partial x_j} \right) - \frac{1}{\rho} \sum\limits_{j \in \mathcal{D}} \frac{\partial q_j}{\partial x_j} + \frac{1}{\rho} \sum\limits_{i, j \in \mathcal{D}} \tau _{ij} \frac{\partial u_j}{\partial x_i}. \tag{11}\label{11}$$

Ecuaciones de conservación adimensional

Ahora bien, si queremos tener un coeficiente constante delante de cada término tendremos que asumir coeficientes de transporte constantes $k$ y $\mu$ . Si lo hacemos, podemos introducir las siguientes cantidades adimensionales en las ecuaciones \eqref {6}, \eqref {7} y \eqref {11}:

$$x_i^*=\frac{x_i}{L}, \phantom{abc} u_i^*=\frac{u_i}{U}, \phantom{abc} \rho^*=\frac{\rho}{\rho_0}, \phantom{abc} T^*=\frac{\Delta T}{\Delta T_0}, \phantom{abc} g_i^*=\frac{g_i}{g}, \phantom{abc} t^*=\frac{t}{\frac{L}{U}},\phantom{abc} p^*=\frac{p}{\rho_0 U^2} \phantom{ab}$$

y además suponiendo el fluido más simple, un gas perfecto con $h = c_p T$ Esto da lugar a las ecuaciones de conservación adimensionales

$$\frac{\partial \rho^*}{\partial t^*} + \sum\limits_{j \in \mathcal{D}} \frac{\partial (\rho^* u_j^* )}{\partial x_j^* }=0$$

$$\rho^* \frac{\partial u_i^*}{\partial t^*} + \rho^* \sum\limits_{j \in \mathcal{D}} u_j^* \frac{\partial u_i^*}{\partial x_j^*} = - \frac{\partial p^*}{ \partial x_i^* } + \frac{1}{Re} \sum\limits_{j \in \mathcal{D}} \frac{\partial \tau_{ij}^*}{\partial x_j^* } + \frac{1}{Fr^2} g_i^*$$

$$\rho^* \frac{\partial T^*}{\partial t^*} + \rho^* \sum\limits_{j \in \mathcal{D}} u_j^* \frac{\partial T^*}{\partial x_j^*} = Ec \left( \frac{\partial p^*}{\partial t^*} + \sum\limits_{j \in \mathcal{D}} u_j^* \frac{\partial p^*}{\partial x_j^*} \right) + \frac{1}{Pr Re} \sum\limits_{j \in \mathcal{D}} \frac{\partial}{\partial x_j^*} \left( \frac{\partial T^*}{\partial x_j^*} \right) + \frac{Ec}{Re} \sum\limits_{i, j \in \mathcal{D}} \tau _{ij}^* \frac{\partial u_i^*}{\partial x_j^*} \tag{12}\label{12}$$

con los correspondientes números adimensionales

$Re := \frac{U L}{\nu} \phantom{abc} \frac{\text{inertial forces}}{\text{viscous forces}} \phantom{abc}$ Número de Reynolds $\phantom{abc} Ec := \frac{U^2}{c_P \Delta T_0} \phantom{abc} \frac{\text{heat dissipation potential}}{\text{advective transport}} \phantom{abc}$ Número Eckert

$Fr := \frac{U}{\sqrt{g \, L}} \phantom{abc} \frac{\text{flow inertia}}{\text{gravity}} \phantom{abc}$ Número de Froude $\phantom{abc} Pr := \frac{\mu c_P}{k}=\frac{\nu}{a} \phantom{abc} \frac{\text{viscious diffusion rate}}{\text{thermal diffusion rate}} \phantom{abc}$ Número de Prandtl

Veamos qué más podemos simplificar con supuestos especiales sobre el único parámetro material sobrante, el densidad .

Flujo incompresible

Si suponemos que la derivada lagrangiana de la densidad desaparece

$$\frac{D \rho}{D t} = \frac{\partial \rho}{\partial t} + \sum\limits_{j \in \mathcal{D}} u_j \frac{\partial \rho}{\partial x_j} = 0 \tag{13}\label{13}$$

nos quedaría una condición muy simple: \eqref {1} y \eqref {13} puede combinarse para

$$\sum\limits_{j \in \mathcal{D}} \frac{\partial u_j}{\partial x_j} = 0,$$

el llamado condición de ausencia de divergencia . Esto significa que un la parcela de fluido no se comprime a lo largo de su camino en una línea de corriente como el último término de \eqref {5}, la dilatación volumétrica, desaparece. Esta es una propiedad del flujo y como beneficio nos queda un tensor de tensión más simple .

Fluido incompresible

Por otro lado, un material incompresible es una propiedad del fluido que debe ser compatible con la ecuación de estado:

$$ \sum\limits_{j \in \mathcal{D}} \frac{\partial \rho}{\partial x_j} = 0$$

sostiene - el densidad se asume constante en todo el campo de flujo $\rho = constant$ . Como puede verse en la ecuación de estado del agua, el Ecuación de Tait

$$p - p_0 = C \left[ \left( \frac{\rho}{\rho_0} \right)^m - 1 \right], $$

(con $C \approx 0.32 GPa$ y $m \approx 7$ ) este es claramente el caso del agua: Los grandes cambios de presión sólo están relacionados con pequeños cambios de densidad.

El el tensor de tensión es igual al de un flujo incompresible pero además la ecuación de continuidad pierde su sentido ya que hay no hay ecuación de estado que acople la presión y la densidad más $\rho \neq \rho(p)$ . El la ecuación de la energía se desacopla del sistema de ecuaciones: La ecuación del momento puede resolverse de forma independiente y la temperatura puede calcularse posteriormente como una simple ecuación de advección-difusión a partir del campo de velocidades resultante. A partir de las ecuaciones de conservación se pueden recuperar los gradientes de presión, pero su valor absoluto sólo puede determinarse con un truco (ecuación de Poisson).

Aproximación al número de Mach bajo

Ahora bien, como se puede ver en \eqref {12} la ecuación de energía también se desacopla en el límite de $Ec \to 0$ . Además, se puede hacer uso de la Número de Mach

$$Ma := \frac{U}{c_s} \phantom{distance} \frac{\text{ordered kinetic energy}}{\text{random kinetic energy}}$$

y el velocidad del sonido de un gas perfecto $c_s := \left( \frac{\partial p}{\partial \rho} \right)_{S = const} = \sqrt{\gamma R_m T}$ para reescribir el número de Eckertt en

$$Ec=\frac{U^2}{c_P \Delta T_0} \frac{c_s^2}{c_s^2} = Ma^2 (\gamma - 1) \frac{T_0}{\Delta T_0}.$$

Así, para los flujos no isotérmicos $\Delta T_0 \neq 0$ el la ecuación de energía se desacoplará para números de Mach cercanos a cero ya que el número de Eckert también será despreciablemente pequeño. A partir de la dinámica de los gases compresibles se puede derivar la relación de densidad

$$\frac{\rho_0}{\rho} = \left( 1 + \frac{\gamma - 1}{2} Ma^2 \right)^\frac{1}{\gamma - 1}.$$

Como se puede observar todo flujo es algo compresible pero si el número de Mach es inferior a $0.3$ los cambios de densidad debidos a la presión son menores que $5\%$ (para relaciones de capacidad calorífica realistas $1.1 \lesssim \gamma \lesssim 1.8$ ) y el fluido puede aproximarse con buena precisión como incompresible: Debido a $Ma = \frac{U}{c_s} \ll 1$ se puede suponer que $c_s^2=\left( \frac{\partial p}{\partial \rho} \right)_S \rightarrow \infty$ y por lo tanto $\left( \frac{\partial \rho}{\partial p} \right)_S \rightarrow 0$ . Esto significa que esta suposición es una aproximación asintótica de un fluido verdaderamente incompresible $\rho \neq \rho(p)$ (que a su vez tiene un velocidad del sonido indefinidamente grande ) si no tenemos en cuenta los cambios debidos a la composición química o a la temperatura.

Resumen

Así que el punto de todos estos conceptos es un densidad constante en el espacio y en el tiempo (fluido incompresible, aproximación de bajo número de Mach al fluido incompresible para flujos isotérmicos), tensor de tensión más simple (flujo compresible, fluido incompresible, aproximación de bajo número de Mach al fluido incompresible) o un desacoplamiento de la ecuación de la energía de la ecuación del momento (fluido incompresible, aproximación de bajo número de Mach al fluido incompresible para flujos isotérmicos). Como su manifestación es bastante similar, muchos libros no las distinguen claramente y se refieren a las ecuaciones de conservación de un fluido incompresible como "ecuaciones de Navier-Stokes incompresibles".