Encuentra el número de formas de expresar 1050 como suma de enteros consecutivos

Question

Tengo que resolver esta tarea:

Hallar el número de maneras de presentar la $1050$ como la suma de consecutivos los enteros positivos.

Yo estaba pensando si factorización puede ayudarle: $$1050 = 2 \cdot 3 \cdot 5^2 \cdot 7 $$ pero no estoy seguro de cómo utilizar esa información (si hay un sentido)

ejemplo

Puedo resolver algo similar pero en menor escala:

\begin{align} 15 &= 15 \\ &= 7+8 \\ &=4+5+6 \\ &= 1+2+3+4+5 \end{align}

($4$ formas)

Answer 1

Queremos saber el número de soluciones de $$n+(n+1)+\ldots + (n+k) = 1050,\ n\in\mathbb Z_{>0},\ k\in\mathbb Z_{\geq 0}.\tag{1}$$

La reescritura de la suma como $$n(k+1) + 0 + 1 +\ldots + k = n(k+1) + \frac{k(k+1)}{2}= \frac 12(2n+k)(k+1).$$

Por lo tanto, el número de soluciones a $(1)$ es el mismo que el número de soluciones de $$(2n+k)(k+1) = 2100,\ n\in\mathbb Z_{>0},\ k\in\mathbb Z_{\geq 0}.\tag{2}$$

Deje $a$ e $b$ ser divisores de $2100$ tales que \begin{align} 2n+k &= a,\\ k+1 &= b.\tag{3} \end{align} Problemas tenemos \begin{align} n &= \frac{a-b+1}2,\\ k &= b -1.\tag{4} \end{align}

Desde aquí podemos ver que no toda elección de enteros $a$ e $b$ tal que $ab = 2100$ nos va a dar una solución a $(2)$. Desde $a-b+1$ debe ser, incluso, $a$ e $b$ son de paridades opuestas. También, $a\geq b > 0$ desde $n> 0$ e $k \geq 0$.

En primer lugar determinar el número de formas de factor de $2100 = 2^2\cdot 3\cdot 5^2 \cdot 7$ tales que uno de los factores es un número impar. Para que esto se cumpla, no podemos permitir que $4 = 2^2$ a tener en cuenta, por lo que considerar el $2100 = 4\cdot 3 \cdot 5^2 \cdot 7$ lugar. Por lo tanto, no se $2\cdot 2\cdot 3\cdot 2 = 24$ positivo soluciones integrales a $2100 = a'b'$ , de modo que un factor es impar. Porque de conmutatividad, significa que hay $12$ distintas formas de factor de $2100$ en producto de dos factores, uno de los cuales es impar, y para cada una de dichas factorización no es una opción única para $a$ e $b$ tal que $a\geq b$.

Por lo tanto, no se $12$ positivo soluciones integrales a $(2)$.

Answer 2

La suma de los primeros a$n$ números naturales es $$\sum_{i=0}^ni=\frac12n(n+1).$$ Así que restando la primera $m-1$ términos obtenemos la suma de todos los enteros consecutivos de $m$ a $n$; $$\sum_{i=m}^ni=\frac12n(n+1)-\frac12(m-1)m=\frac12(n+m)(n-m+1).$$ Para contar el número de maneras de escribir un número $k$ como una suma de números enteros consecutivos, queremos encontrar números naturales $m$ e $n$ con $m<n$ tales que $$(n+m)(n-m+1)=2k.$$ En particular, esto le da una factorización de $2k$. Por el contrario, si $2k=a\times b$ es una factorización de donde $a\not\equiv b\pmod{2}$ , a continuación, configuración de $$m:=\frac{a-b+1}{2}\qquad\text{ and }\qquad n:=\frac{a+b-1}{2},$$ da $(n+m)(n-m+1)=2k$. Esto muestra que si $k=2^lk'$ con $l\in\Bbb{N}$ e $k'$ impar, entonces las expresiones de $k$ como una suma de números enteros consecutivos corresponden $2$a-$1$ a los divisores de $k'$; para cada divisor $d$ de $k'$ tenemos a los dos factorizations $$2k=d\times\left(2^l\frac{k'}{d}\right)=\left(2^ld\right)\times\frac{k'}{d},$$ de $2k$ en un uniforme y un número impar. El importe correspondiente incluyen el trivial suma $k=\sum_{i=k}^ki$, así como las sumas con negativos enteros. Esto muestra que el número total de formas de representar un número $k$ como una suma de números enteros consecutivos, es dos veces el número de divisores de a$k'$.

El número de expresiones de $k$ como la suma de los positivos números enteros es el número de factorizations para que $m\geq0$, o, equivalentemente, $a+1\geq b$. Por supuesto, para cada factorización $2k=a\times b$ con $a\neq b$ le tienen o $a+1\geq b$ o $b+1\geq a$ exclusivamente, por lo que si $2k$ no es un cuadrado entonces exactamente la mitad de todas las expresiones implican enteros positivos.

En este caso particular, $k=1050=2\cdot3\cdot5^2\cdot7$ e lo $k'=525=3\cdot5^2\cdot7$, y el número de divisores de a$k'$ es igual a $2\times3\times2=12$, por lo que hay $12$ expresiones de $k$ como suma de enteros positivos. Los factores de $k'$ y el importe correspondiente se \begin{eqnarray*} \text{factor}&&\qquad&&\text{sums}\\ \hline 1&&\qquad&&k=\sum_{i=1050}^{1050}i &&\qquad&&k=\sum_{i=261}^{264}i\\ 3&&\qquad&&k=\sum_{i=349}^{352}i &&\qquad&&k=\sum_{i=82}^{93}i\\ 5&&\qquad&&k=\sum_{i=208}^{212}i &&\qquad&&k=\sum_{i=43}^{62}i\\ 7&&\qquad&&k=\sum_{i=147}^{153}i &&\qquad&&k=\sum_{i=24}^{51}i\\ 15&&\qquad&&k=\sum_{i=63}^{77}i &&\qquad&&k=\sum_{i=-12}^{47}i\\ 21&&\qquad&&k=\sum_{i=40}^{60}i &&\qquad&&k=\sum_{i=-29}^{54}i\\ 25&&\qquad&&k=\sum_{i=30}^{54}i &&\qquad&&k=\sum_{i=-39}^{60}i\\ 35&&\qquad&&k=\sum_{i=13}^{47}i &&\qquad&&k=\sum_{i=-62}^{77}i\\ 75&&\qquad&&k=\sum_{i=-23}^{51}i &&\qquad&&k=\sum_{i=-146}^{153}i\\ 105&&\qquad&&k=\sum_{i=-42}^{62}i &&\qquad&&k=\sum_{i=-207}^{212}i\\ 175&&\qquad&&k=\sum_{i=-81}^{93}i &&\qquad&&k=\sum_{i=-348}^{351}i\\ 525&&\qquad&&k=\sum_{i=-260}^{264}i &&\qquad&&k=\sum_{i=-1049}^{1050}i\\ \end{eqnarray*} Vemos que, efectivamente, $12$ de estos $24$ expresiones implican enteros positivos.

Answer 3

Para la suma de la siguiente entero podemos usar la fórmula para la suma de la progresión aritmética

$$\sum_{k=1}^na_k=\frac n2(a_1+a_n)$$

Así

\begin{aligned} 1050 &= \frac n2(a_1+a_n) \\ 2100 &= n(a_1+a_n) \\ 2100&= n(a_1+a_n) \\ 2100&= n(a_1+a1+(n-1)) \\ 2^2\cdot3\cdot5^2\cdot7&= n(2a_1+n-1) \end{aligned}

Ahora:

1. Si $n$ es incluso, a continuación, $(2a_1+n-1)$ es impar, por lo que $$n=2^2\cdot3^x\cdot5^y\cdot7^z$$ donde $x \in \{0,1\},\; y \in \{0,1,2\}, \;z \in \{0,1\}$,
   así que hay $2 \times 3 \times 2 = 12$ posibilidades de $n$.

2. Si $n$ es impar, entonces del mismo modo $$n=3^x\cdot5^y\cdot7^z$$

   y podemos obtener otros $12$ posibilidades de $n$.

Así que hay $24$ soluciones en conjunto, un medio o ellos, yo. e. $\color{red}{12}$, por sólo positivos enteros, debido a que para enteros positivos deben ser $a_1 \ge 1$, y, en consecuencia, $(2a_1+n-1) >n$, por lo que en el producto $n(2a_1+n-1)$ el primer multiplicador tiene que ser más pequeño que el segundo.

Answer 4

Usando el MiniZinc solucionador con Gecode , tengo las siguientes soluciones$12$:

 13 .. 47
24 .. 51
30 .. 54
40 .. 60
43 .. 62
63 .. 77
82 .. 93
147 .. 153
208 .. 212
261 .. 264
349 .. 351
1050 .. 1050
 

El modelo:

 var 1..1050: k0;
var 0..1050: k1;

constraint
  (1050 == sum([k0 + k | k in 0..k1]));

solve satisfy;

output ["\n\(k0) .. \(k0+k1)"];
 

Answer 5

Así es como usas esa información:

1050 tiene divisores:

$$1,2,3,5,6,7,10,14,15,21,25,30,35,42,50,70,75,105,150,175,210,350,525,1050$ $ Puede usar la factorización prima para verificar esto. Luego dice que 1050 dividido por 3 da 350, por lo que 349 +350 +351 se suma a 1050. Es hora de hacer sumas (divisores impares y 4 lanzados, porque cae en medio entero). Esto te da: $$\begin{eqnarray}1050=349+350+351\\1050=261+262+263+264\\1050=208+209+210+211+212\\1050=147+148+149+150+151+152+153\\1050=63+64+65+66+67+68+69+70+71+72+73+74+75+76+77\\1050=40+41+42+43+44+45+46+47+48+49+50+51+52+53+54+55+56+57+58+59+60\\1050=30+31+32+33+34+35+36+37+38+39+40+41+42+43+44+45+46+47+48+49+50+51+52+53+54\end{eqnarray}$ $

Está bien, puede que me falten algunos. Aunque consigue el punto a través.