¿Por qué es opcional la conmutación en la multiplicación de anillos?

Question

Más precisamente, ¿por qué es que todos los anillos son requeridos por los axiomas tener conmutatividad de la suma, pero no se llevan a cabo para el mismo axioma respecto a la multiplicación? Yo sé que tenemos conmutativa y no conmutativa anillos dependiendo de si son o no la propiedad conmutativa de la multiplicación, pero me pregunto por qué es que los axiomas se define de esa manera, el suministro de nosotros con esta opción.

Yo estoy usando esta lista de axiomas, de David Sharpe de los Anillos y de la factorización:

Definición 1.3.1. Un anillo es un conjunto no vacío $R$ que satisface los siguientes axiomas:

(1) $R$ tiene una operación binaria denotada por $+$ definido en él;

(2) la adición es asociativa, es decir, \begin{align} a + \left(b+c\right) = \left(a+b\right) + c \text{ for all } a, b, c \in R \end{align} (de modo que podemos escribir $a+b+c$ sin corchetes);

(3) la adición es conmutativa, es decir, \begin{align} a + b = b + a \text{ for all } a, b \in R; \end{align}

(4) hay un elemento denotado por $0$ en $R$ tales que \begin{align} 0 + a = a \text{ for all } a \in R \end{align} (sólo hay un elemento en común, porque, si $0_1$ e $0_2$ son dos, a continuación, $0_1 = 0_1 + 0_2 = 0_2$ y son los mismos -- llamamos a $0$ el elemento cero de $R$);

(5) para cada $a \in R$, existe un elemento $-a \in R$ tales que \begin{align} \left(-a\right) + a = 0 \end{align} (hay sólo un elemento para cada una de las $a$, porque si $b + a = 0$ e $c + a = 0$, luego \begin{align} b = 0 + b = \left(c + a\right) + b = c + \left(a + b\right) = c + 0 = c; \end{align} llamamos a $-a$ la negativa de $a$);

(6) $R$ tiene una operación binaria denotada por la multiplicación que se definen en ella;

(7) la multiplicación es asociativa, es decir, \begin{align} a\left(bc\right) = \left(ab\right)c \text{ for all } a, b, c \in R; \end{align}

(8) la multiplicación es la izquierda y a la derecha distributiva sobre la suma, es decir, \begin{align} a\left(b+c\right) = ab + ac,\ \left(a+b\right)c = ac + bc \text{ for all } a, b, c \in R; \end{align}

(9) hay un elemento denotado por $1$ en $R$ tal que $1 \neq 0$y \begin{align} 1 \cdot a = a \cdot 1 = a \text{ for all } a \in R \end{align} (como para el elemento cero, sólo hay un elemento en común, y es llamado el elemento de identidad de $R$).

Answer 1

La primera anillos que se consideraron fueron generalmente conmutativo: el polinomio de anillos, luego del trabajo de Dedekind en número de campos. Las propiedades fueron extraídas por Fraenkel y Noether, que trata principalmente con anillos conmutativos.

Sin embargo, pronto se hizo evidente que existen muchos casos donde la conmutatividad de la multiplicación no se espera. Había famoso de los cuaterniones, por supuesto, pero también había matrices y, más en general, el endomorfismo anillo de un grupo abelian (donde "multiplicación" es la composición de funciones). Así que tenemos dos diferentes, relacionados, nociones: anillos conmutativos y no conmutativa anillos, al igual que no conmutativa grupos y conmutativa/abelian grupos.

Ahora, ¿por qué hacen esto con la multiplicación y no con la adición? Bien, si usted toma su definición de anillo de arriba, que incluye una unidad, pero la gota de la condición (3) (es decir, requieren de todo, excepto que no se requiere que, además de ser conmutativa), resulta que los otros ocho axiomas de la fuerza de conmutatividad de la suma.

En efecto, supongamos que tiene una estructura $(R,+,\cdot,0,1)$ que satisface los axiomas (1), (2) y (4)-(9). Me dicen que uno puede deducir de (3). De hecho, vamos a $a,b\in R$. A continuación, usando la distributividad de la primera a la izquierda, y la distributividad de la derecha en segundo lugar, tenemos $$\begin{align*} (1+1)(a+b) &= 1(a+b) + 1(a+b) = a+b+a+b\\ (1+1)(a+b) &= (1+1)a + (1+1)b = a+a+b+b. \end{align*}$$ De esto podemos conseguir que $a+b+a+b = a+a+b+b$. Ahora agregue la inversa de a$a$ a la izquierda y a la inversa de $b$ a la derecha, en ambos lados para obtener $$\begin{align*} (-a) + a + b + a + b + (-b) &= 0+b+a+0 = b+a\\ (-a) + a + a + b + b + (-b) &= 0+a+b+0 = a+b \end{align*}$$ Por lo tanto, llegamos a la conclusión de que $a+b=b+a$. Es decir, conmutatividad de la adición es una consecuencia de los otros ocho axiomas.

La razón por la cual incluimos es doble: una, es que es mucho mejor decir que los primeros axiomas de la fuerza de $(R,+)$ a ser un conmutativa/abelian grupo. La segunda es que también es común considerar los anillos sin la unidad, y si hacemos eso, entonces es que ya no es cierto que además está obligado a ser conmutativa. Para ver esto, observe que si $(G,\cdot)$ es cualquier grupo con elemento de identidad $e_G$, y definimos una multiplicación en $G$ dejando $a*b=e_G$ para todos los $a,b\in G$, a continuación, $(G,\cdot,*)$ satisface los axiomas (1)-(8) dada anteriormente. Pero si el grupo original no es conmutativa, entonces la "adición" en este anillo no es conmutativa. Así que si queremos considerar los anillos sin unidad, queremos hacer un explícitamente requieren además de ser conmutativa.

Answer 2

Yo no sé acerca de la historia, pero creo que la mejor manera de motivar a los anillos es a través de sus lineal en un conjunto. Incluso el semi-anillo de números naturales $\def\nn{\mathbb{N}}$$\nn$ debe ser motivado por la acción de contar los números en los objetos, donde desea que el siguiente para cualquier $a,b ∈ \nn$ y las colecciones de objetos de $X,Y$:

$a·X+a·Y = a·(X+Y)$ [$a$ copias de $X$ más $a$ copias de $Y$ es $a$ copias de ( $X$ más $Y$ )]

$a·X+b·X = (a+b)·X$ [$a$ copias de $X$ más $b$ copias de $X$ es $(a+b)$ copias de $X$]

$a·(b·X) = (a·b)·X$ [$a$ copias de $b$ copias de $X$ es $(a·b)$ copias de $X$]

$1·X = X$ [$1$ copia de $X$ es sólo $X$]

$0·X + Y = Y$ [$0$ copias de $X$ más $Y$ es sólo $Y$]

$X + Y = Y + X$ [Combinación de las colecciones es simétrica]

Aquí $\nn$ actúa a través de la $·$ sobre el conmutativa semi-grupo $C$ de las colecciones de cosas en virtud de la combinación, y el punto es que podemos abstracto a cabo el conteo de los números de $\nn$ simplemente dejar caer la semi-grupo $C$ que $\nn$ actos.

Tenga en cuenta que la asociatividad y conmutatividad de la $+$ para $\nn$ sigue inmediatamente a la asociatividad y conmutatividad de $C$.

Ahora observe que para cualquier $a,b,c ∈ \nn$ y el objeto de la colección de $X$ tenemos:

$(a·(b+c))·X = a·((b+c)·X)$ $= a·(b·X+c·X)$ $= a·(b·X)+a·(c·X)$ $= (a·b)·X+(a·c)·X$.

$((a+b)·c)·X = (a+b)·(c·X)$ $= a·(c·X)+b·(c·X)$ $= (a·c)·X+(b·c)·X$.

Así hemos obtenido la distributividad de $\nn$!

Pero, ¿qué acerca de la conmutatividad de la $·$ para $\nn$? Que corresponde a:

$a·(b·X) = b·(a·X)$ [$a$ copias de $b$ copias de $X$ es $b$ copias de $a$ copias de $X$]

Es obviamente cierto? Para "copias" en el mundo real, seguro, y por lo tanto tenemos el familiar semi-anillo de propiedades de $\nn$. Motivación Similar que implican cambios de escala nos da semi-anillo de propiedades de $\mathbb{R}_{≥0}$.

Si nos movemos a la más abstracta noción de las colecciones de los bienes de propiedad/adeudado, se puede conseguir fácilmente el anillo de $\mathbb{Z}$, y de la misma manera una vez que consideramos inversa escalamientos tenemos el anillo de $\mathbb{R}$.

En general, si un anillo de $R$ actúa en un grupo de $G$, a continuación, $R$ adquirirá automáticamente la asociatividad, y también, naturalmente, de adquirir la propiedad conmutativa de la adición si $G$ es conmutativa.

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Pero conmutativa de la multiplicación es diferente. Para copiar y escala, de hecho, la acción es conmutativa. Pero debería ser obvio que, en general, las acciones son no conmutativa!

Por ejemplo, la colección de $T$ de transformaciones rígidas actúa en conjunto $S$ de las ubicaciones (vectores), y, ciertamente, $A·(B·X)$ puede no ser $B·(A·X)$ general $A,B ∈ T$ y ubicación de $X$ (rotaciones y traslaciones en general no conmutan). Así que si $T$ es visto como un anillo, con la adición ser pointwise la adición y la multiplicación siendo composición, este anillo tiene la propiedad conmutativa de la adición (puesto que la adición de vectores es conmutativa), pero tiene un no-conmutativa de la multiplicación. Y, por supuesto, $T$ es un subconjunto de los operadores lineales en el espacio vectorial de las localizaciones, que pueden ser representados por matrices. Después de todo, la multiplicación de la matriz se define de modo que es el mismo de la composición.

Answer 3

Matriz de anillos son de la misma como el conjunto de transformaciones lineales ('endomorphisms') después de escribir en una base fija. Estas transformaciones lineales son funciones de tipo especial (la satisfacción de la linealidad de las condiciones).

Las funciones que toman valores en un espacio vectorial puede ser añadido y hacer así un espacio vectorial. Como el dominio y codominio son los mismos espacios vectoriales, que pueden ser compuestos. La función de adición y composiciones satisfacer distributiva de la ley.

Por desgracia, la función de composiciones rara vez son conmutativos. Por ejemplo en la mejor situación de las funciones de los números reales a los números reales, es decir, $f(x)= \sin x,\ g(x)= x^2$. Claramente $\sin (x^2)\neq \sin^2 (x)$.

(O mucho más sencillo, $(x+5)^2\neq x^2 +5$.)

Funciones y sus composiciones, siendo la corriente principal de las operaciones en todas las ramas de las matemáticas (no sólo de álgebra) necesitamos un estudio de estas operaciones y, entonces, tenemos que acomodar no conmutativa anillos.

En un conjunto diferente, donde no hay ningún anillo, sólo un grupo: grupo de Galois de una normal separables finito extensión de los campos consta de campo de automorfismos. Automorfismos son los primeros de todas las funciones de un campo en sí mismos. Sus composiciones hacer de ellos un grupo. De nuevo como función composiciones rara vez son conmutativas, hay que destacar el caso de que estos grupos de Galois llegar a ser abelian y averiguar lo que es especial acerca de ellos.

Hay todo un subcampo (juego de palabras) de la Teoría Algebraica de números se llama Campo de la Clase de Teoría que se ocupa de los casos de abelian grupos de Galois (y mucho más). El más simple de los casos de los números racionales como campo base hay un célebre teorema de Kronecker-Weber describe cómo obtener todos los algebraicas número de campos que se abelian extensiones de Galois.

Answer 4

La conmutatividad es opcional en la definición de un anillo (o incluso un campo) porque uno ya puede probar toneladas de proposiciones sobre los anillos (e incluso campos y módulos y espacios vectoriales) sin asumir la conmutatividad. Cuantas menos suposiciones se hacen, mejores son los axiomas.

Es más conveniente definir un anillo en general y asumir la conmutatividad solo cuando sea necesario.