Cómo encontrar la tasa de divergencia de una secuencia recursiva definida por $s_n = s_{n-1}(1 + c_n s_{n-1})$

Question

Así que mi pregunta se refiere a una secuencia de números definida recursivamente por $s_n = s_{n-1}(1 + c_n s_{n-1})$ , donde $(c_n)$ es una secuencia de números positivos cuando $s_0 = \epsilon > 0$ es pequeño (lo pequeño puede depender de $(c_n)$ ). Sé que si $c_n$ es sumable, entonces $s_n$ converge si $s_0$ es lo suficientemente pequeño. Cuando $c_n$ no es sumable, entonces creo que $s_n$ no converge, pero no sé cómo se relaciona su tasa de divergencia con $c_n$ . Si $s_0$ es pequeño, parece divergir ligeramente más rápido que la suma de $c_n$ pero no sé cómo ser más preciso que eso.

Answer 1

Primero, el límite inferior exponencial doble.

Tenga en cuenta que $c_n=\frac{S_n-S_{n-1}}{S_{n-1}^2}$ . Dejemos que $K>0$ . La suma de los lados de la mano derecha puede verse entonces como la suma de Riemann izquierda para la función $x\mapsto \frac 1{x^2}$ en $[s_0,+\infty)$ correspondiente a la partición con los nodos $s_n$ . Si tuviéramos $s_{n}\le (K+1)s_{n-1}$ para todos $n$ , esa suma de Riemann sería comparable a $\int_{s_0}^\infty\frac{dx}{x^2}<+\infty$ lo que contradice la divergencia de $\sum_n c_n$ . Así, tenemos $c_n s_{n-1}>K$ en alguna parte. Desde $c_{n+k}\ge c_n\delta^k$ (regularidad), tenemos entonces la desigualdad $$t_k=c_ns_{n+k}\ge \delta^k(c_n s_{n+k-1})^2=\delta^k t_{k-1}^2$$ para $k\ge 0$ . Aquí $t_{-1}>K$ . Si sustituimos las desigualdades por identidades la solución de esta recursión será $$T_k=K^{2^k}\delta^{k+2(k-1)+2^2(k-2)+\dots+2^{k-1}}$$ Sin embargo, $\sum_{m=1}^{\infty} 2^{-m}m=\sigma<+\infty$ , por lo que obtenemos $t_k>T_k\ge [K\delta^\sigma]^{2^k}$ que es un crecimiento exponencial doble si el producto entre paréntesis es mayor que $1$ .

Para obtener el límite superior, basta con suponer que $c_n\le C-1$ y empezar con $s_0=1$ . Entonces tenemos $(Cs_n)\le (Cs_{n-1})^2$ Así que $s_n\le C^{2^n}$ . Ahora, al elegir $s_0$ lo suficientemente pequeño, podemos mantener $s_n$ debajo de $1$ para cualquier momento $n_0$ que queremos, por lo que podemos desplazar este límite a $C^{2^{n-n_0}}=\exp(2^{-n_0}\log C\cdot 2^n)$ . El resto debería estar claro.

Answer 2

Mostrando la divergencia. Es fácil demostrar (por inducción) $(s_n)$ es una secuencia positiva.

Propuesta 1 $(s_n)$ es ascendente.

Desde $(c_n)$ es positivo, entonces $$s_n-s_{n-1} = s_{n-1}(1 + c_n s_{n-1})-s_{n-1}=s_{n-1}^2c_n\geq 0 \tag{1}$$ o $$s_n\geq s_{n-1}$$

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Propuesta 2 $$s_n-s_{n-1} \geq \varepsilon^2 c_n \tag{2}$$

Desde $(1)$ y porque $(s_n)$ es ascendente $$s_n-s_{n-1} = s_{n-1}^2c_n\overset{(1)}{\geq} s_{n-2}^2c_n\geq ... \geq s_0^2c_n=\varepsilon^2 c_n$$

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Propuesta 3 Si $\sum\limits_{n=1} c_n = \infty$ entonces $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}s_n=\infty$ .

$$s_n = s_n-s_0+s_0=(s_n-s_{n-1})+(s_{n-1}-s_0)+s_0=\\ (s_n-s_{n-1})+(s_{n-1}-s_{n-2})+(s_{n-2}-s_0)+s_0=...\\ ...=s_0+\sum\limits_{k=1}^n(s_k-s_{k-1})\overset{(2)}{\geq} s_0+\sum\limits_{k=1}^n \varepsilon^2 c_k=\\ s_0+\varepsilon^2 \sum\limits_{k=1}^n c_k$$ Tomando el límite, se llega al resultado deseado.