Prueba de$p_n<n^2$ por medio elemental

Question

¿Hay alguna prueba de la desigualdad$p_n<n^2$ (para todos los$n$ suficientemente grande) por medios elementales y sin usar el teorema de los números primos?

Busqué en google pero en vano. Los resultados que he encontrado (y a partir de los cuales se puede demostrar la desigualdad) son en su mayoría resultados que surgen como consecuencia de la PNT.

Entonces, ¿hay tal prueba? Si es así, incluya un enlace del documento en su respuesta (o comentario).

Answer 1

Como se dijo en los comentarios, Chebyshev ya demostró por medios elementales que$p_n<C n \log(n)$ para todos$n\ge n_0$. Como no se solicitó explícitamente una referencia, incluyo uno (de muchos): Teorema$5.1$ aquí .