Orden de cálculo en todas las ecuaciones matemáticas.

Question

Ya le pedí una pregunta (el Orden de las operaciones en la matriz de rotación de la notación.) sobre el orden en el que un particular de la ecuación es "procesado" y ahora tengo que generalizar que y aprender las reglas de la notación matemática. No puedo encontrar este tipo de 'documentación' en alguno de mis libros o en la web.

En la "construcción" de la ecuación en J. M., la respuesta a la Matriz de rotación alrededor de un vector, el orden en que se hace la ecuación 'procesados'?

Los comentaristas en cuanto a mi primera pregunta parecía dudoso en cuanto a la ambigüedad en la notación matemática que parece que estoy experimentando y que los paréntesis son de lo más común, sin embargo, rara vez se les ve que se usa para denotar la prioridad de procesamiento, por lo que su obviamente implícita (lo cual no es bueno para la plebe).

El principal problema que tengo es que la función seno tiene una potencia de 2 justo después de ella, lo que arroja mi suposición de que el siguiente símbolo es lo que debe ser introducida en la función.

A pesar de que yo he sido la programación desde que yo tenía 8 años, me estoy encontrando matemáticas casi tan duro-va como nadie y siento que es el simbólico de compresión sistema de cifrado que es el problema.

De todos modos, ¿alguien puede recomendar una cartilla en la lectura de las matemáticas, sino como un lenguaje de programación de la especificación?

Lucas

Answer 1

Usted está exactamente correcto que la expresión de J. M. de la (original) respuesta contiene la ambigüedad. Los matemáticos pueden distinguir el significado correcto fácilmente, ya que estamos acostumbrados a ver las cosas por escrito de esta manera, pero puede ser difícil para los no iniciados. Permítanme explicarlo.

$$\mathbf I+\sin\,\varphi\mathbf W+2\sin^2\frac{\varphi}{2}\mathbf W^2$$

1. Para comenzar con, a menudo, cuando la gente de álgebra lineal (aritméticas con matrices y vectores), que se negrita el símbolo de una matriz (array) o un vector (una tupla) para distinguirlo de un escalar (un número). En este caso, J. M. fue distinguir que yo y W son matrices. (Convencionalmente capital en negrita las letras como ${\bf A}$ el valor de las matrices, mientras que las minúsculas en negrita las letras como ${\bf v}$ el valor de los vectores.) En particular, I se refiere a la matriz identidad, que es la matriz diagonal con entradas de $1$ y todas las demás entradas de $0$. A veces escribimos esto como ${\bf I_n}$, en lugar de distinguir las dimensiones de la matriz. $$\mathbf{I}_n =\underbrace{\left.\left(\begin{array}{ccccc}1&0&0&\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\0&0&1&\cdots &0\\ \vdots&&&\ddots &\\0&0&0&\cdots &1\end{array}\right)\right\}}_{n\text{ columns}}\,n\text{ rows}$$

2. Como usted aprendió en el último post, $\sin$ es una función trigonométrica. Generalmente escribimos $\sin(\theta)$ para denotar la $\sin$$\theta$, pero a veces nos deja el paréntesis cuando creemos que el significado es ambiguo. $\sin\varphi {\bf W}$ aparece ambiguo, porque no sé si debería ser $\sin$'ing $\varphi$ o $\varphi{\bf W}$. Sin embargo, usted no puede $\sin$ una matriz, así que ahora que usted sabe el convenio de que las matrices están en negrita, debe ser claro que los $\sin{\varphi}{\bf W}$ denota un escalar $\sin(\varphi)$ multiplica por una matriz de ${\bf W}$. Un escalar que multiplica por una matriz es simplemente el escalar que se aplica a cada entrada en la matriz, por lo $$\begin{eqnarray*}\sin\varphi {\bf W}&=&\sin\varphi \left(\begin{array}{ccc} W_{11} & W_{12} & \cdots & W_{1n} \\ W_{21} & W_{22} & \cdots & W_{2n} \\ \vdots & & \ddots & \\ W_{m1} & W_{m2} & \cdots & W_{mn} \end{array}\right)\\&=&\left(\begin{array}{ccc}\sin(\varphi) W_{11} &\sin(\varphi) W_{12} & \cdots & \sin(\varphi) W_{1n} \\ \sin(\varphi) W_{21} &\sin(\varphi) W_{22} & \cdots & \sin(\varphi) W_{2n} \\ \vdots & & \ddots & \\\sin(\varphi) W_{m1} & \sin(\varphi) W_{m2} & \cdots & \sin(\varphi)W_{mn} \end{array}\right).\end{eqnarray*}$$

3. Hay otro extraño notación de aquí. $\sin^2\theta$, por el motivo que sea, es cómo escribimos $(\sin(\theta))^2$. (Sinceramente, no sé cómo esto se originó. Generalmente cuando se tiene una función de $f$ y escribes $f^2(x)$, significa $f(f(x))$, no $(f(x))^2$, pero para las funciones trigonométricas esto es diferente). Así, en la expresión de $2\sin^2\frac{\varphi}{2}{\bf W^2}$, primero tendría que evaluar la escalares $2\sin^2\frac{\varphi}{2}$: primero divide $\varphi$$2$, a continuación, calcular el $\sin$, entonces el cuadrado, luego se multiplica por $2$. Establecer el resultado a un lado (vamos a llamar a $\alpha$), calcular los ${\bf W}^2={\bf W}\cdot{\bf W}$ con la multiplicación de la matriz, y luego multiplicar cada entrada de ${\bf W}^2$ $\alpha$ término por término.

4. La última cosa que debe hacer es agregar las tres matrices $I$, $\sin\varphi {\bf W}$, y $2\sin^2\frac{\varphi}{2}{\bf W}^2$ juntos. La suma de matrices es, simplemente, término por término, es decir, $$A+B=\left(\begin{array}{ccc} A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1n} \\ A_{21} & A_{22} & \cdots & A_{2n} \\ \vdots & & \ddots & \\ A_{m1} & A_{m2} & \cdots & A_{mn} \end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccc} B_{11} & B_{12} & \cdots & B_{1n} \\ B_{21} & B_{22} & \cdots & B_{2n} \\ \vdots & & \ddots & \\ B_{m1} & B_{m2} & \cdots & B_{mn} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} A_{11}+B_{11} & A_{12}+B_{12} & \cdots & A_{1n}+B_{1n} \\ A_{21}+B_{21} & A_{22}+B_{22} & \cdots &A_{2n}+ B_{2n} \\ \vdots & & \ddots & \\ A_{m1}+B_{m1} &A_{m2}+ B_{m2} & \cdots & A_{mn}+B_{mn} \end{array}\right).$$ Tenga en cuenta que $A+B$ sólo se define cuando se $A$ $B$ tienen las mismas dimensiones - si $A$ $m\times n$ matriz, $B$ tiene que ser demasiado.

Espero que esto ayude! Esto puede ayudar a calcular un pequeño ejemplo (con $2\times 2$ matrices), con papel y lápiz.

Answer 2

Hay muchas convenciones de aquí que necesitan ser aprendidas. Entre paréntesis sustituir nada. Horizontal de las barras de fracción (pero no en diagonal) vienen con paréntesis alrededor de las cosas de arriba y de abajo. A continuación, los exponentes de venir antes de la multiplicación/división, que vienen antes de la adición/sustracción. Nos acaba de llegar (de nuevo) la cuestión de cómo analizar los $6/2(1+2)$ a los equipos que sé es $9$ pero muchas personas piensan que es $1$ y vemos formas similares con ambas calidades.

La forma particular que hacen referencia a $2 \sin^2 \frac \varphi 2$ es especial. Debido a que las funciones trigonométricas a menudo necesitan cuadrar escribir de esta manera en lugar de $2(\sin \frac \varphi 2)^2$, lo cual es equivalente. Aparte de la trigonometría, rara vez se ve $f^2(x)$ y si lo hace, es a veces el cuadrado de $f(x)$ y a veces $f(f(x))$-el autor le debe una explicación. Generalmente sólo uno de estos tiene sentido. Otro problema es que los argumentos de las funciones trigonométricas-nos escriben a veces $\sin x$ sin paréntesis, pero es $\sin 2 \pi \omega t$ supone ser $\sin (2) \pi \omega t$ o $\sin (2\pi \omega t)$? Me gustaría apostar fuertemente en el último.

Answer 3

La respuesta básica es que las funciones trigonométricas son especiales. Otros de los que, en símbolos matemáticos generalmente se comportan prácticamente de la misma manera. Yo personalmente casi siempre significa $f(x)^2$ cuando escribo $f^2(x)$, y tengo un montón de otros convenios que uso para asegurarse de que entiendo mis notas, pero siempre y cuando usted consigue la respuesta correcta, la mayoría de los maestros o no les importa, precisamente, lo que la notación que utiliza para obtener la respuesta, siempre y cuando el resultado final es en la notación que utiliza. Aquellos que se preocupan generalmente no les importa un extra de unos pocos conjuntos de paréntesis.