Permita que$f(x)=e^{-1/x}$ para$x>0$ y$f(x)=0$ para$x\leq 0$. Demuestre que$f^{(n)}(0)=0$ para todos$n\in \Bbb N$.

Question

Deje $f(x)=e^{-1/x}$$x>0$$f(x)=0$$x\leq 0$. Demostrar que $f^{(n)}(0)=0$ todos los $n\in \Bbb N$.

Estoy leyendo la solución, y entiendo cómo probar que todos los derivados deben ser de la forma:

$$f^{(n)}(x)=e^{-1/x}\left[\sum_{k=0}^{2n} \frac{a_k}{x^k}\right]$$

Después de esto, el manual de la solución comienza a demostrar $f^{(n)}(0)=0$ $n\in \Bbb N$ por inducción.

Suponga que $f^{(n)}(0)=0$ algunos $n\geq 0$. Tenemos que demostrar $$\lim_{x\to 0} \frac{f^{(n)}(x)-f^{(n)}(0)}{x-0}=0$$

No entiendo por qué hacen esto. No es más fácil demostrar que para $n\in \Bbb N$, $f^{(n)}(x) \to 0$. Yo creo que el uso de l'hopitale esto debe ser posible.

Answer 1

La fórmula que da para$f^{(n)}(x)$ es válida para$x > 0$. Entonces, el problema es que no es necesariamente cierto que$f^{(n)}(0) = \lim_{x\to 0^+} f^{(n)}(x)$, ya que esto supondría que el derivado era continuo.